Номер 13, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем - номер 13, страница 72.

Условие.

13. Сравните значения выражений:

1) $1,9^0$ ☐ $258^0$;

2) $5^8$ ☐ $0,2^{-8}$;

3) $0,3^4$ ☐ $0,3^{-4}$;

4) $\left(\frac{1}{5}\right)^{-3} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$ ☐ $\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{2}\right)^{-3}$.

Решение.

1) Сравним $1,9^0$ и $258^0$.
Согласно свойству степени, любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице. То есть, $a^0 = 1$ при $a \neq 0$.
Следовательно, $1,9^0 = 1$ и $258^0 = 1$.
Так как $1 = 1$, то и исходные выражения равны.
Ответ: $1,9^0 = 258^0$.

2) Сравним $5^8$ и $0,2^{-8}$.
Преобразуем второе выражение. Представим десятичную дробь $0,2$ в виде обыкновенной: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Теперь используем свойство степени с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$0,2^{-8} = (\frac{1}{5})^{-8} = (\frac{5}{1})^8 = 5^8$.
Таким образом, необходимо сравнить $5^8$ и $5^8$. Эти выражения равны.
Ответ: $5^8 = 0,2^{-8}$.

3) Сравним $0,3^4$ и $0,3^{-4}$.
Основание степени $0,3$ является положительным числом, меньшим 1 ($0 < 0,3 < 1$).
Выражение $0,3^4$ будет положительным числом, также меньшим 1.
$0,3^4 = 0,3 \times 0,3 \times 0,3 \times 0,3 = 0,0081$.
Преобразуем второе выражение, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$0,3^{-4} = \frac{1}{0,3^4} = \frac{1}{0,0081}$.
Число $\frac{1}{0,0081}$ очевидно больше 1.
Сравнивая $0,0081$ и $\frac{1}{0,0081}$, получаем, что $0,0081 < \frac{1}{0,0081}$.
Следовательно, $0,3^4 < 0,3^{-4}$.
Ответ: $0,3^4 < 0,3^{-4}$.

4) Сравним $(\frac{1}{5})^{-3} + (\frac{1}{2})^{-3}$ и $(\frac{1}{5} + \frac{1}{2})^{-3}$.
Вычислим значение левой части выражения.
Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:
$(\frac{1}{5})^{-3} + (\frac{1}{2})^{-3} = 5^3 + 2^3 = 125 + 8 = 133$.
Теперь вычислим значение правой части выражения.
Сначала выполним сложение в скобках: $\frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{2}{10} + \frac{5}{10} = \frac{7}{10}$.
Теперь возведем результат в степень -3:
$(\frac{7}{10})^{-3} = (\frac{10}{7})^3 = \frac{10^3}{7^3} = \frac{1000}{343}$.
Осталось сравнить $133$ и $\frac{1000}{343}$.
Значение дроби $\frac{1000}{343}$ меньше 3, так как $3 \times 343 = 1029 > 1000$.
Очевидно, что $133 > \frac{1000}{343}$.
Следовательно, левая часть больше правой.
Ответ: $(\frac{1}{5})^{-3} + (\frac{1}{2})^{-3} > (\frac{1}{5} + \frac{1}{2})^{-3}$.