Номер 9, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем - номер 9, страница 74.

Условие.

9. Заполните пропуск так, чтобы получилось тождество:

1) $a^{-3}b^6 = ( \_\_\_\_\_ )^{-3};$

2) $\frac{1}{16}m^{-4}n^4 = ( \_\_\_\_\_ )^{4};$

3) $-\frac{1}{243}p^{10}k^{-15} = ( \_\_\_\_\_ )^{-5};$

4) $a^{-12}b^{18}c^{-30} = ( \_\_\_\_\_ )^{-6}.$

Решение.

Для решения каждого пункта необходимо найти такое выражение, которое при возведении в указанную степень даст выражение слева от знака равенства. Это достигается путем возведения левой части в степень, обратную указанной.

1) Дано тождество $a^{-3}b^6 = ( \underline{\hspace{1cm}} )^{-3}$.

Чтобы найти выражение в скобках, нужно возвести левую часть в степень, обратную $-3$, то есть в степень $-\frac{1}{3}$.

$(a^{-3}b^6)^{-1/3} = (a^{-3})^{-1/3} \cdot (b^6)^{-1/3} = a^{-3 \cdot (-1/3)} \cdot b^{6 \cdot (-1/3)} = a^1 \cdot b^{-2} = ab^{-2}$.

Проверка: $(ab^{-2})^{-3} = a^{-3} \cdot (b^{-2})^{-3} = a^{-3} \cdot b^{(-2) \cdot (-3)} = a^{-3}b^6$.

Ответ: $ab^{-2}$

2) Дано тождество $\frac{1}{16}m^{-4}n^4 = ( \underline{\hspace{1cm}} )^4$.

Чтобы найти выражение в скобках, нужно возвести левую часть в степень, обратную $4$, то есть в степень $\frac{1}{4}$ (или извлечь корень четвертой степени).

$(\frac{1}{16}m^{-4}n^4)^{1/4} = (\frac{1}{16})^{1/4} \cdot (m^{-4})^{1/4} \cdot (n^4)^{1/4} = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} \cdot m^{-4 \cdot 1/4} \cdot n^{4 \cdot 1/4} = \frac{1}{2}m^{-1}n$.

Проверка: $(\frac{1}{2}m^{-1}n)^4 = (\frac{1}{2})^4 \cdot (m^{-1})^4 \cdot n^4 = \frac{1}{16}m^{-4}n^4$.

Ответ: $\frac{1}{2}m^{-1}n$

3) Дано тождество $-\frac{1}{243}p^{10}k^{-15} = ( \underline{\hspace{1cm}} )^{-5}$.

Чтобы найти выражение в скобках, нужно возвести левую часть в степень, обратную $-5$, то есть в степень $-\frac{1}{5}$.

$(-\frac{1}{243}p^{10}k^{-15})^{-1/5} = (-\frac{1}{243})^{-1/5} \cdot (p^{10})^{-1/5} \cdot (k^{-15})^{-1/5} = (-243)^{1/5} \cdot p^{10 \cdot (-1/5)} \cdot k^{-15 \cdot (-1/5)} = \sqrt[5]{-243} \cdot p^{-2} \cdot k^3 = -3p^{-2}k^3$.

Проверка: $(-3p^{-2}k^3)^{-5} = (-3)^{-5} \cdot (p^{-2})^{-5} \cdot (k^3)^{-5} = \frac{1}{(-3)^5} \cdot p^{10} \cdot k^{-15} = -\frac{1}{243}p^{10}k^{-15}$.

Ответ: $-3p^{-2}k^3$

4) Дано тождество $a^{-12}b^{18}c^{-30} = ( \underline{\hspace{1cm}} )^{-6}$.

Чтобы найти выражение в скобках, нужно возвести левую часть в степень, обратную $-6$, то есть в степень $-\frac{1}{6}$.

$(a^{-12}b^{18}c^{-30})^{-1/6} = (a^{-12})^{-1/6} \cdot (b^{18})^{-1/6} \cdot (c^{-30})^{-1/6} = a^{-12 \cdot (-1/6)} \cdot b^{18 \cdot (-1/6)} \cdot c^{-30 \cdot (-1/6)} = a^2b^{-3}c^5$.

Проверка: $(a^2b^{-3}c^5)^{-6} = (a^2)^{-6} \cdot (b^{-3})^{-6} \cdot (c^5)^{-6} = a^{-12}b^{18}c^{-30}$.

Ответ: $a^2b^{-3}c^5$