Номер 16, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем - номер 16, страница 75.

Условие.

16. Упростите выражение:

1) $0,4a^{-6}b^2 \cdot 5a^7b^{-2} = 0,4 \cdot 5 \cdot a^{-6} \cdot a^7 \cdot b^2 \cdot b^{-2} =$

2) $2,5b^4c^{-2} \cdot 6b^{-6}c^5 =$

3) $12m^8n^{-2} : (3m^5n^{-6}) = (12 : 3) \cdot (m^8 : m^5) \cdot (n^{-2} : n^{-6}) =$

4) $-3,6x^5y^{-7} : (0,9x^8y^{-10}) =$

5) $\frac{28a^{-1}b^2}{9} \cdot \frac{18a^6}{7b^{-4}} =$

6) $\frac{16c^2}{13k^{-7}} \cdot \frac{39k^{-4}}{8c^{-2}} =$

7) $\frac{24x^4y^6}{z^7} \cdot \frac{6y^6z^{-6}}{5x^{-3}} = \frac{24x^4y^6}{z^7} \cdot \frac{5x^{-3}}{6y^6z^{-6}} =$

8) $\frac{3a^8}{4b^3c^{-2}} \cdot \frac{a^5b^{-4}}{12c^{-1}} =$

9) $\frac{(3x)^2 \cdot x^{-8}}{x^{-12} \cdot 4x^6} = \frac{9x^2 \cdot x^{-8}}{4x^{-12} \cdot x^6} =$

10) $\frac{(6a)^2 \cdot a^{-4}}{a^{-10} \cdot 9a^8} =$

Решение.

1) Для упрощения выражения $0.4a^{-6}b^2 \cdot 5a^7b^{-2}$ сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:
$(0.4 \cdot 5) \cdot (a^{-6} \cdot a^7) \cdot (b^2 \cdot b^{-2})$
Перемножим коэффициенты: $0.4 \cdot 5 = 2$.
Применим свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ для переменных:
$a^{-6} \cdot a^7 = a^{-6+7} = a^1 = a$
$b^2 \cdot b^{-2} = b^{2+(-2)} = b^0 = 1$
Объединим результаты: $2 \cdot a \cdot 1 = 2a$.
Ответ: $2a$.

2) Для упрощения выражения $2.5b^4c^{-2} \cdot 6b^{-6}c^5$ сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:
$(2.5 \cdot 6) \cdot (b^4 \cdot b^{-6}) \cdot (c^{-2} \cdot c^5)$
Перемножим коэффициенты: $2.5 \cdot 6 = 15$.
Применим свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$b^4 \cdot b^{-6} = b^{4+(-6)} = b^{-2}$
$c^{-2} \cdot c^5 = c^{-2+5} = c^3$
Объединим результаты: $15b^{-2}c^3$.
Ответ: $15b^{-2}c^3$.

3) Для упрощения выражения $12m^8n^{-2} : (3m^5n^{-6})$ разделим коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:
$(12 : 3) \cdot (m^8 : m^5) \cdot (n^{-2} : n^{-6})$
Разделим коэффициенты: $12 : 3 = 4$.
Применим свойство степеней $x^m : x^n = x^{m-n}$:
$m^8 : m^5 = m^{8-5} = m^3$
$n^{-2} : n^{-6} = n^{-2-(-6)} = n^{-2+6} = n^4$
Объединим результаты: $4m^3n^4$.
Ответ: $4m^3n^4$.

4) Для упрощения выражения $-3.6x^5y^{-7} : (0.9x^8y^{-10})$ разделим коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:
$(-3.6 : 0.9) \cdot (x^5 : x^8) \cdot (y^{-7} : y^{-10})$
Разделим коэффициенты: $-3.6 : 0.9 = -4$.
Применим свойство степеней $x^m : x^n = x^{m-n}$:
$x^5 : x^8 = x^{5-8} = x^{-3}$
$y^{-7} : y^{-10} = y^{-7-(-10)} = y^{-7+10} = y^3$
Объединим результаты: $-4x^{-3}y^3$.
Ответ: $-4x^{-3}y^3$.

5) Упростим выражение $\frac{28a^{-1}b^2}{9} \cdot \frac{18a^6}{7b^{-4}}$.
Сгруппируем и сократим числовые коэффициенты: $\frac{28 \cdot 18}{9 \cdot 7} = \frac{28}{7} \cdot \frac{18}{9} = 4 \cdot 2 = 8$.
Упростим переменные, используя свойства степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$a^{-1} \cdot a^6 = a^{-1+6} = a^5$
$\frac{b^2}{b^{-4}} = b^{2-(-4)} = b^{2+4} = b^6$
Объединим результаты: $8a^5b^6$.
Ответ: $8a^5b^6$.

6) Упростим выражение $\frac{16c^2}{13k^{-7}} \cdot \frac{39k^{-4}}{8c^{-2}}$.
Сгруппируем и сократим числовые коэффициенты: $\frac{16 \cdot 39}{13 \cdot 8} = \frac{16}{8} \cdot \frac{39}{13} = 2 \cdot 3 = 6$.
Упростим переменные, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$\frac{c^2}{c^{-2}} = c^{2-(-2)} = c^{2+2} = c^4$
$\frac{k^{-4}}{k^{-7}} = k^{-4-(-7)} = k^{-4+7} = k^3$
Объединим результаты: $6c^4k^3$.
Ответ: $6c^4k^3$.

7) Упростим выражение $\frac{24x^4y^6}{z^7} : \frac{6y^6z^{-6}}{5x^{-3}}$.
Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь: $\frac{24x^4y^6}{z^7} \cdot \frac{5x^{-3}}{6y^6z^{-6}}$.
Сгруппируем и упростим коэффициенты и переменные:
$\frac{24 \cdot 5}{6} \cdot \frac{x^4 \cdot x^{-3}}{1} \cdot \frac{y^6}{y^6} \cdot \frac{1}{z^7 \cdot z^{-6}} = 4 \cdot 5 \cdot x^{4+(-3)} \cdot y^{6-6} \cdot \frac{1}{z^{7+(-6)}} = 20 \cdot x^1 \cdot y^0 \cdot \frac{1}{z^1} = 20xz^{-1}$.
Ответ: $20xz^{-1}$.

8) Упростим выражение $\frac{3a^8}{4b^3c^{-2}} \cdot \frac{a^5b^{-4}}{12c^{-1}}$.
Сгруппируем и упростим коэффициенты и переменные:
$\frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 12} \cdot (a^8 \cdot a^5) \cdot \frac{b^{-4}}{b^3} \cdot \frac{1}{c^{-2} \cdot c^{-1}} = \frac{3}{48} \cdot a^{8+5} \cdot b^{-4-3} \cdot \frac{1}{c^{-2+(-1)}} = \frac{1}{16} \cdot a^{13} \cdot b^{-7} \cdot \frac{1}{c^{-3}} = \frac{1}{16}a^{13}b^{-7}c^3$.
Ответ: $\frac{1}{16}a^{13}b^{-7}c^3$.

9) Упростим выражение $\frac{(3x)^2 \cdot x^{-8}}{x^{-12} \cdot 4x^6}$.
Сначала упростим числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель: $(3x)^2 \cdot x^{-8} = 9x^2 \cdot x^{-8} = 9x^{2+(-8)} = 9x^{-6}$.
Знаменатель: $x^{-12} \cdot 4x^6 = 4x^{-12+6} = 4x^{-6}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{9x^{-6}}{4x^{-6}} = \frac{9}{4} \cdot x^{-6-(-6)} = \frac{9}{4} \cdot x^0 = \frac{9}{4}$.
Ответ: $\frac{9}{4}$.

10) Упростим выражение $\frac{(6a)^2 \cdot a^{-4}}{a^{-10} \cdot 9a^8}$.
Сначала упростим числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель: $(6a)^2 \cdot a^{-4} = 36a^2 \cdot a^{-4} = 36a^{2+(-4)} = 36a^{-2}$.
Знаменатель: $a^{-10} \cdot 9a^8 = 9a^{-10+8} = 9a^{-2}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{36a^{-2}}{9a^{-2}} = \frac{36}{9} \cdot a^{-2-(-2)} = 4 \cdot a^0 = 4$.
Ответ: $4$.