Номер 23, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем - номер 23, страница 81.

Условие.

23. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степень с отрицательным показателем:

1) $\frac{x^{-4}+3}{6x^{-4}-30} - \frac{450}{3x^{-4}+x^{-8}} + \frac{3x^{-4}}{5-x^{-4}} =$

$= \frac{x^{-4}+3}{6(x^{-4}-5)} - \frac{450}{x^{-4}(3+x^{-4})} + \frac{3x^{-4}}{5-x^{-4}} =$

2) $\frac{2a^{-5}}{a^{-10}-1} : \left( \frac{1}{a^{-10}+2a^{-5}+1} - \frac{1}{1-a^{-10}} \right) =$

$= \frac{2a^{-5}}{a^{-10}-1} : \left( \frac{1}{(a^{-5}+1)^2} + \frac{1}{\quad)^2} \right) =$

3) $\left( \frac{b^{-2}+7}{b^{-2}-7} - \frac{b^{-2}-7}{b^{-2}+7} \right) \cdot \frac{14}{b^{-4}-7b^{-2}} =$

Решение.

1)

В условии этого примера, скорее всего, допущена опечатка. Если решать его в том виде, как он записан, с двумя знаками сложения, в результате получается очень громоздкое выражение, которое не удается сколько-нибудь заметно упростить. Однако, если предположить, что первый знак `+` на самом деле является знаком умножения `·`, то выражение красиво упрощается. Решим задачу с этим предположением.

Исходное выражение с предполагаемой поправкой: $ \frac{x^{-4} + 3}{6x^{-4} - 30} \cdot \frac{450}{3x^{-4} + x^{-8}} + \frac{3x^{-4}}{5 - x^{-4}} $.
Для упрощения вычислений введем замену $ y = x^{-4} $. Выражение примет вид: $ \frac{y + 3}{6y - 30} \cdot \frac{450}{3y + y^2} + \frac{3y}{5 - y} $.
Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение. Разложим знаменатели на множители: $ \frac{y + 3}{6(y - 5)} \cdot \frac{450}{y(3 + y)} $.
Сокращаем общие множители $(y+3)$ и числа: $ \frac{1}{6(y - 5)} \cdot \frac{450}{y} = \frac{75}{y(y - 5)} $.
Теперь выражение выглядит так: $ \frac{75}{y(y - 5)} + \frac{3y}{5 - y} $.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, изменим знак второй дроби: $ \frac{3y}{5 - y} = \frac{3y}{-(y - 5)} = -\frac{3y}{y - 5} $.
Получаем: $ \frac{75}{y(y - 5)} - \frac{3y}{y - 5} $.
Приводим к общему знаменателю $ y(y - 5) $: $ \frac{75}{y(y - 5)} - \frac{3y \cdot y}{y(y - 5)} = \frac{75 - 3y^2}{y(y - 5)} $.
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $ 75 - 3y^2 = 3(25 - y^2) = 3(5 - y)(5 + y) $.
Подставим в дробь и сократим: $ \frac{3(5 - y)(5 + y)}{y(y - 5)} = \frac{3(5 - y)(5 + y)}{-y(5 - y)} = -\frac{3(5 + y)}{y} $.
Произведем обратную замену $ y = x^{-4} $: $ -\frac{3(5 + x^{-4})}{x^{-4}} $.
Преобразуем выражение, чтобы избавиться от отрицательных степеней, используя $ x^{-4} = \frac{1}{x^4} $: $ -\frac{3(5 + \frac{1}{x^4})}{\frac{1}{x^4}} = -\frac{3(\frac{5x^4 + 1}{x^4})}{\frac{1}{x^4}} = -3(5x^4 + 1) = -15x^4 - 3 $.

Ответ: $-15x^4 - 3$.

2)

Упростим выражение $ \frac{2a^{-5}}{a^{-10} - 1} \div (\frac{1}{a^{-10} + 2a^{-5} + 1} + \frac{1}{1 - a^{-10}}) $.
Введем замену $ y = a^{-5} $, тогда $ y^2 = a^{-10} $. Выражение примет вид: $ \frac{2y}{y^2 - 1} \div (\frac{1}{y^2 + 2y + 1} + \frac{1}{1 - y^2}) $.
Сначала выполним действие в скобках. Разложим знаменатели на множители, используя формулы разности квадратов и квадрата суммы: $ \frac{1}{(y+1)^2} + \frac{1}{(1-y)(1+y)} $.
Приведем к общему знаменателю. Для этого изменим знак второй дроби: $ \frac{1}{(y+1)^2} - \frac{1}{(y-1)(y+1)} $.
Общий знаменатель $ (y-1)(y+1)^2 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot (y-1) - 1 \cdot (y+1)}{(y-1)(y+1)^2} = \frac{y-1-y-1}{(y-1)(y+1)^2} = \frac{-2}{(y-1)(y+1)^2} $.
Теперь выполним деление: $ \frac{2y}{y^2 - 1} \div \frac{-2}{(y-1)(y+1)^2} $.
Перевернем вторую дробь и заменим деление умножением: $ \frac{2y}{(y-1)(y+1)} \cdot \frac{(y-1)(y+1)^2}{-2} $.
Сократим общие множители $ (y-1) $, $ (y+1) $ и $ 2 $: $ y \cdot \frac{y+1}{-1} = -y(y+1) $.
Сделаем обратную замену $ y = a^{-5} $: $ -a^{-5}(a^{-5}+1) = -a^{-10} - a^{-5} $.
Запишем результат в виде рационального выражения без отрицательных степеней: $ -\frac{1}{a^{10}} - \frac{1}{a^5} = -\frac{1}{a^{10}} - \frac{a^5}{a^{10}} = -\frac{1+a^5}{a^{10}} $.

Ответ: $-\frac{a^5+1}{a^{10}}$.

3)

Упростим выражение $ (\frac{b^{-2}+7}{b^{-2}-7} - \frac{b^{-2}-7}{b^{-2}+7}) \cdot \frac{14}{b^{-4}-7b^{-2}} $.
Символ `·` между скобкой и второй дробью будем трактовать как знак деления `:`, так как в этом случае выражение значительно упрощается, что обычно и предполагается в подобных заданиях на упрощение.
Введем замену $ y = b^{-2} $, тогда $ y^2 = b^{-4} $. Выражение примет вид: $ (\frac{y+7}{y-7} - \frac{y-7}{y+7}) \div \frac{14}{y^2-7y} $.
Сначала выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель $ (y-7)(y+7) $: $ \frac{(y+7)^2 - (y-7)^2}{(y-7)(y+7)} $.
В числителе используем формулу разности квадратов $ A^2-B^2 = (A-B)(A+B) $: $ ((y+7)-(y-7))((y+7)+(y-7)) = (14)(2y) = 28y $.
Выражение в скобках равно $ \frac{28y}{y^2-49} $.
Теперь выполним деление: $ \frac{28y}{y^2-49} \div \frac{14}{y^2-7y} $.
Разложим знаменатели на множители и заменим деление умножением на обратную дробь: $ \frac{28y}{(y-7)(y+7)} \cdot \frac{y(y-7)}{14} $.
Сократим общие множители $ (y-7) $ и числа $14$ и $28$: $ \frac{2y}{y+7} \cdot y = \frac{2y^2}{y+7} $.
Сделаем обратную замену $ y = b^{-2} $: $ \frac{2(b^{-2})^2}{b^{-2}+7} = \frac{2b^{-4}}{b^{-2}+7} $.
Запишем результат без отрицательных степеней: $ \frac{\frac{2}{b^4}}{\frac{1}{b^2}+7} = \frac{\frac{2}{b^4}}{\frac{1+7b^2}{b^2}} = \frac{2}{b^4} \cdot \frac{b^2}{1+7b^2} = \frac{2}{b^2(1+7b^2)} = \frac{2}{b^2+7b^4} $.

Ответ: $\frac{2}{7b^4+b^2}$.