Номер 24, страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем - номер 24, страница 82.

Условие.

24. Докажите, что значение выражения не зависит от значения n (n – целое число):

1) $\frac{7^{2n+1}}{49^n} = \frac{7^{2n+1}}{(7^2)^n} =$

2) $\frac{3^{n-1} \cdot 5^{n+2}}{15^n} = \frac{3^n \cdot 3^{-1} \cdot 5^n \cdot 5^2}{(3 \cdot 5)^n} =$

3) $\frac{39^{n+1}}{3^{n-2} \cdot 13^n} =$

4) $\frac{9^{n+1} - 9^{n-2}}{3^{2n}} = \frac{9^{n-2}( - )}{(3^2)^n} =$

5) $\frac{5^{n+3} - 5^{n-1}}{6 \cdot 5^{n+1}} =$

Решение.

1)

Для доказательства того, что значение выражения не зависит от n, необходимо его упростить. Преобразуем знаменатель, представив 49 как степень 7, и воспользуемся свойствами степеней:
$ \frac{7^{2n+1}}{49^n} = \frac{7^{2n+1}}{(7^2)^n} = \frac{7^{2n+1}}{7^{2n}} $
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($ \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} $):
$ \frac{7^{2n+1}}{7^{2n}} = 7^{(2n+1) - 2n} = 7^{2n+1-2n} = 7^1 = 7 $
Полученное значение равно 7, является константой и, следовательно, не зависит от значения n.
Ответ: 7

2)

Преобразуем выражение, используя свойства степеней ($ a^{m+k} = a^m \cdot a^k $, $ a^{m-k} = a^m \cdot a^{-k} $, $ (ab)^n = a^n b^n $):
$ \frac{3^{n-1} \cdot 5^{n+2}}{15^n} = \frac{(3^n \cdot 3^{-1}) \cdot (5^n \cdot 5^2)}{(3 \cdot 5)^n} = \frac{3^n \cdot 3^{-1} \cdot 5^n \cdot 5^2}{3^n \cdot 5^n} $
Сократим одинаковые множители $3^n$ и $5^n$ в числителе и знаменателе:
$ 3^{-1} \cdot 5^2 = \frac{1}{3} \cdot 25 = \frac{25}{3} $
Значение выражения равно $ \frac{25}{3} $, не содержит переменную n, значит, не зависит от нее.
Ответ: $ \frac{25}{3} $

3)

Разложим основание 39 на простые множители ($39 = 3 \cdot 13$) и воспользуемся свойствами степеней:
$ \frac{39^{n+1}}{3^{n-2} \cdot 13^n} = \frac{(3 \cdot 13)^{n+1}}{3^{n-2} \cdot 13^n} = \frac{3^{n+1} \cdot 13^{n+1}}{3^{n-2} \cdot 13^n} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней:
$ \frac{3^{n+1}}{3^{n-2}} \cdot \frac{13^{n+1}}{13^n} = 3^{(n+1) - (n-2)} \cdot 13^{(n+1) - n} = 3^{n+1-n+2} \cdot 13^{n+1-n} = 3^3 \cdot 13^1 $
Вычислим результат:
$ 27 \cdot 13 = 351 $
Значение выражения равно 351 и не зависит от n.
Ответ: 351

4)

Сначала преобразуем знаменатель: $ 3^{2n} = (3^2)^n = 9^n $.
В числителе вынесем за скобки общий множитель в наименьшей степени, то есть $9^{n-2}$:
$ 9^{n+1} - 9^{n-2} = 9^{n-2} \cdot 9^{(n+1) - (n-2)} - 9^{n-2} \cdot 1 = 9^{n-2}(9^3 - 1) $
Теперь подставим преобразованные части обратно в дробь:
$ \frac{9^{n-2}(9^3 - 1)}{9^n} $
Сократим степени с основанием 9 и вычислим значение:
$ 9^{(n-2) - n} \cdot (9^3 - 1) = 9^{-2} \cdot (729 - 1) = \frac{1}{9^2} \cdot 728 = \frac{728}{81} $
Значение выражения равно $ \frac{728}{81} $ и не зависит от n.
Ответ: $ \frac{728}{81} $

5)

Вынесем в числителе общий множитель $5^{n-1}$ (степень с наименьшим показателем) за скобки:
$ 5^{n+3} - 5^{n-1} = 5^{n-1}(5^{(n+3) - (n-1)} - 1) = 5^{n-1}(5^{4} - 1) $
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{5^{n-1}(5^4 - 1)}{6 \cdot 5^{n+1}} $
Сократим степени с основанием 5 и вычислим результат:
$ \frac{5^4 - 1}{6} \cdot \frac{5^{n-1}}{5^{n+1}} = \frac{625 - 1}{6} \cdot 5^{(n-1) - (n+1)} = \frac{624}{6} \cdot 5^{-2} = 104 \cdot \frac{1}{5^2} = \frac{104}{25} $
Значение выражения равно $ \frac{104}{25} $ и не зависит от n.
Ответ: $ \frac{104}{25} $