Номер 17, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем - номер 17, страница 76.

Условие.

17. Найдите значение выражения:

1) $8^{-6} : 16^{-4} = (2^3)^{-6} : (2^4)^{-4} =$

2) $\frac{36^{-3} \cdot 216^{-4}}{6^{-20}} =$

3) $\frac{343^{-5}}{49^8 \cdot 7^{-32}} =$

4) $\frac{64^{-1} \cdot 4^6}{(0,5^{-2})^3} =$

5) $\frac{2^{-9} \cdot 5^{-9}}{10^{-6}} = \frac{(2 \cdot 5)^{-9}}{10^{-6}} =$

6) $4^{-19} \cdot 0,25^{-17} = 4^{-2} \cdot 4^{-17} \cdot 0,25^{-17} =$

7) $\frac{18^{-6}}{64^{-1} \cdot 27^{-4}} = \frac{(2 \cdot 3^2)^{-6}}{(2^6)^{-1} \cdot (3^3)^{-4}} =$

8) $\frac{24^{-5}}{4^{-7} \cdot 9^{-2}} =$

Решение.

1) Для решения приведем основания степеней к одному числу (2). $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$, получаем: $8^{-6} : 16^{-4} = (2^3)^{-6} : (2^4)^{-4} = 2^{3 \cdot (-6)} : 2^{4 \cdot (-4)} = 2^{-18} : 2^{-16} = 2^{-18 - (-16)} = 2^{-18+16} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Ответ: $\frac{1}{4}$

2) Приведем все основания к одному числу (6). $36 = 6^2$ и $216 = 6^3$. Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем: $\frac{36^{-3} \cdot 216^{-4}}{6^{-20}} = \frac{(6^2)^{-3} \cdot (6^3)^{-4}}{6^{-20}} = \frac{6^{-6} \cdot 6^{-12}}{6^{-20}} = \frac{6^{-6+(-12)}}{6^{-20}} = \frac{6^{-18}}{6^{-20}} = 6^{-18 - (-20)} = 6^{-18+20} = 6^2 = 36$. Ответ: $36$

3) Приведем все основания к одному числу (7). $343 = 7^3$ и $49 = 7^2$. Используя свойства степеней, получаем: $\frac{343^{-5}}{49^8 \cdot 7^{-32}} = \frac{(7^3)^{-5}}{(7^2)^8 \cdot 7^{-32}} = \frac{7^{-15}}{7^{16} \cdot 7^{-32}} = \frac{7^{-15}}{7^{16+(-32)}} = \frac{7^{-15}}{7^{-16}} = 7^{-15 - (-16)} = 7^{-15+16} = 7^1 = 7$. Ответ: $7$

4) Приведем все основания к одному числу (2). $64 = 2^6$, $4 = 2^2$ и $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. Тогда: $\frac{64^{-1} \cdot 4^6}{(0,5^{-2})^3} = \frac{(2^6)^{-1} \cdot (2^2)^6}{((2^{-1})^{-2})^3} = \frac{2^{-6} \cdot 2^{12}}{(2^2)^3} = \frac{2^{-6+12}}{2^6} = \frac{2^6}{2^6} = 1$. Ответ: $1$

5) Используем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ для числителя. $2^{-9} \cdot 5^{-9} = (2 \cdot 5)^{-9} = 10^{-9}$. Тогда выражение примет вид: $\frac{10^{-9}}{10^{-6}} = 10^{-9 - (-6)} = 10^{-9+6} = 10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0,001$. Ответ: $0,001$

6) Представим $0,25$ в виде степени с основанием 4. $0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$. Тогда: $4^{-19} \cdot 0,25^{-17} = 4^{-19} \cdot (4^{-1})^{-17} = 4^{-19} \cdot 4^{(-1) \cdot (-17)} = 4^{-19} \cdot 4^{17} = 4^{-19+17} = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$. Ответ: $\frac{1}{16}$

7) Разложим основания на простые множители: $18 = 2 \cdot 3^2$, $64 = 2^6$, $27 = 3^3$. Подставим в выражение: $\frac{18^{-6}}{64^{-1} \cdot 27^{-4}} = \frac{(2 \cdot 3^2)^{-6}}{(2^6)^{-1} \cdot (3^3)^{-4}} = \frac{2^{-6} \cdot (3^2)^{-6}}{2^{-6} \cdot 3^{-12}} = \frac{2^{-6} \cdot 3^{-12}}{2^{-6} \cdot 3^{-12}} = 1$. Ответ: $1$

8) Разложим основания на простые множители: $24 = 2^3 \cdot 3$, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$. Подставим в выражение: $\frac{24^{-5}}{4^{-7} \cdot 9^{-2}} = \frac{(2^3 \cdot 3)^{-5}}{(2^2)^{-7} \cdot (3^2)^{-2}} = \frac{2^{-15} \cdot 3^{-5}}{2^{-14} \cdot 3^{-4}} = 2^{-15 - (-14)} \cdot 3^{-5 - (-4)} = 2^{-1} \cdot 3^{-1} = (2 \cdot 3)^{-1} = 6^{-1} = \frac{1}{6}$. Ответ: $\frac{1}{6}$