Номер 19, страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем - номер 19, страница 77.

Условие.

19. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степень с отрицательным показателем:

1) $(a^{-3} + 2)(a^{-3} - 2) - (a^{-3} + 3)^2;$

Решение.

Применив формулы сокращённого умножения, получаем:

$(a^{-3} + 2)(a^{-3} - 2) - (a^{-3} + 3)^2 = ((a^{-3})^2 - 2^2) - ((a^{-3})^2 + 6a^{-3} + 9) = $

Ответ:

2) $(c^{-2} + 1)(c^{-2} - 3) - (c^{-2} + 1)^2;$

Решение.

Ответ:

3) $\frac{a^6 + a^{10}}{a^{-6} + a^{-10}};$

Решение.

Вынеся за скобки в числителе и знаменателе степени $a$ с наименьшими из данных показателей, получаем:

$\frac{a^6 + a^{10}}{a^{-6} + a^{-10}} = \frac{a^6(1 + a^4)}{a^{-10}(a^4 + 1)} = \frac{a^6}{a^{-10}} = $

Ответ:

4) $\frac{a^{-2} - a^{-1} + 1}{a^{-2} - a + 1};$

Решение.

Ответ:

5) $\frac{b^2 - c^2}{b^{-1} - c^{-1}};$

Решение.

$\frac{b^2 - c^2}{b^{-1} - c^{-1}} = \frac{b^2 - c^2}{b^{-1}c^{-1}(c - b)} = $

Ответ:

6) $\frac{a^{-2} + b^{-2}}{2a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1}} + \frac{b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}};$

Решение.

$\frac{a^{-2} + b^{-2}}{2a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1}} + \frac{b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} = \frac{a^{-2} + b^{-2}}{2a^{-1}(a^{-1} + b^{-1})} + \frac{b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} = $

Ответ:

7) $\frac{x^{-1} - y^{-1}}{x^{-1} + y^{-1}} : \frac{x^{-2}}{2x^{-1}y^{-1} + x^{-2} + y^{-2}};$

Решение.

$\frac{x^{-1} - y^{-1}}{x^{-1} + y^{-1}} : \frac{x^{-2}}{2x^{-1}y^{-1} + x^{-2} + y^{-2}} = \frac{x^{-1} - y^{-1}}{x^{-1} + y^{-1}} \cdot \frac{x^{-2} + 2x^{-1}y^{-1} + y^{-2}}{x^{-2}} = $

$= \frac{x^{-1} - y^{-1}}{x^{-1} + y^{-1}} \cdot \frac{(x^{-1} + y^{-1})^2}{x^{-2}} = $

Ответ:

8) $\frac{a^{-4} + b^{-4}}{a^{-5}} \cdot \frac{a^{-3}}{a^{-2}b^{-4} + a^{-6}};$

Решение.

$\frac{a^{-4} + b^{-4}}{a^{-5}} \cdot \frac{a^{-3}}{a^{-2}b^{-4} + a^{-6}} = \frac{a^{-4} + b^{-4}}{a^{-5}} \cdot \frac{a^{-3}}{a^{-2}(b^{-4} + a^{-4})} = $

Ответ:

9) $\frac{m^{-1} + 5n^{-1}}{n^{-2}} : \frac{m^{-2}n^{-1} + 5m^{-1}n^{-2}}{mn};$

Решение.

$\frac{m^{-1} + 5n^{-1}}{n^{-2}} : \frac{m^{-2}n^{-1} + 5m^{-1}n^{-2}}{mn} = $

Ответ:

Решение.

1) $(a^{-3} + 2)(a^{-3} - 2) - (a^{-3} + 3)^2$

Решение:

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для первого произведения и формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ для второго выражения.

$(a^{-3} + 2)(a^{-3} - 2) - (a^{-3} + 3)^2 = ((a^{-3})^2 - 2^2) - ((a^{-3})^2 + 2 \cdot a^{-3} \cdot 3 + 3^2) = (a^{-6} - 4) - (a^{-6} + 6a^{-3} + 9)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^{-6} - 4 - a^{-6} - 6a^{-3} - 9 = -6a^{-3} - 13$

Запишем результат в виде рационального выражения, не содержащего степень с отрицательным показателем:

$-6a^{-3} - 13 = -\frac{6}{a^3} - 13 = -\frac{6 + 13a^3}{a^3}$

Ответ: $-\frac{13a^3 + 6}{a^3}$

2) $(c^{-2} + 1)(c^{-2} - 3) - (c^{-2} + 1)^2$

Решение:

Вынесем общий множитель $(c^{-2} + 1)$ за скобки:

$(c^{-2} + 1)(c^{-2} - 3) - (c^{-2} + 1)^2 = (c^{-2} + 1)((c^{-2} - 3) - (c^{-2} + 1))$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:

$(c^{-2} + 1)(c^{-2} - 3 - c^{-2} - 1) = (c^{-2} + 1)(-4) = -4c^{-2} - 4$

Запишем результат без отрицательных показателей:

$-4c^{-2} - 4 = -\frac{4}{c^2} - 4 = -\frac{4 + 4c^2}{c^2} = -\frac{4(1+c^2)}{c^2}$

Ответ: $-\frac{4(c^2 + 1)}{c^2}$

3) $\frac{a^6 + a^{10}}{a^{-6} + a^{-10}}$

Решение:

Вынесем за скобки в числителе и знаменателе степень с наименьшим показателем. В числителе это $a^6$, в знаменателе $a^{-10}$.

$\frac{a^6(1 + a^4)}{a^{-10}(a^4 + 1)}$

Сократим общий множитель $(1 + a^4)$:

$\frac{a^6}{a^{-10}} = a^{6 - (-10)} = a^{6+10} = a^{16}$

Ответ: $a^{16}$

4) $\frac{a^{-2} - a^{-1} + 1}{a^2 - a + 1}$

Решение:

Преобразуем числитель, представив степени с отрицательными показателями в виде дробей и приведя их к общему знаменателю:

$a^{-2} - a^{-1} + 1 = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{a} + 1 = \frac{1 - a + a^2}{a^2}$

Подставим это выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{a^2 - a + 1}{a^2}}{a^2 - a + 1} = \frac{a^2 - a + 1}{a^2(a^2 - a + 1)}$

Сократим общий множитель $(a^2 - a + 1)$:

$\frac{1}{a^2}$

Ответ: $\frac{1}{a^2}$

5) $\frac{b^2 - c^2}{b^{-1} - c^{-1}}$

Решение:

Преобразуем знаменатель:

$b^{-1} - c^{-1} = \frac{1}{b} - \frac{1}{c} = \frac{c - b}{bc}$

Подставим преобразованный знаменатель в исходную дробь:

$\frac{b^2 - c^2}{\frac{c - b}{bc}} = (b^2 - c^2) \cdot \frac{bc}{c - b}$

Применим формулу разности квадратов $b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$ и учтем, что $b-c = -(c-b)$:

$\frac{(b-c)(b+c)bc}{c-b} = \frac{-(c-b)(b+c)bc}{c-b}$

Сократим общий множитель $(c-b)$:

$-(b+c)bc = -bc(b+c)$

Ответ: $-bc(b+c)$

6) $\frac{a^{-2} + b^{-2}}{2a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1}} + \frac{b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}}$

Решение:

В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель $2a^{-1}$ за скобки: $2a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} = 2a^{-1}(a^{-1} + b^{-1})$.

Выражение примет вид: $\frac{a^{-2} + b^{-2}}{2a^{-1}(a^{-1} + b^{-1})} + \frac{b^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2a^{-1}(a^{-1} + b^{-1})$:

$\frac{a^{-2} + b^{-2} + b^{-1} \cdot 2a^{-1}}{2a^{-1}(a^{-1} + b^{-1})} = \frac{a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}}{2a^{-1}(a^{-1} + b^{-1})}$

Числитель является полным квадратом суммы: $a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2} = (a^{-1} + b^{-1})^2$.

$\frac{(a^{-1} + b^{-1})^2}{2a^{-1}(a^{-1} + b^{-1})}$

Сократим на $(a^{-1} + b^{-1})$: $\frac{a^{-1} + b^{-1}}{2a^{-1}}$

Запишем результат без отрицательных показателей:

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{2}{a}} = \frac{\frac{b+a}{ab}}{\frac{2}{a}} = \frac{a+b}{ab} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a+b}{2b}$

Ответ: $\frac{a+b}{2b}$

7) $\frac{x^{-1} - y^{-1}}{x^{-1} + y^{-1}} - \frac{x^{-2}}{2x^{-1}y^{-1} + x^{-2} + y^{-2}}$

Решение:

Знаменатель второй дроби является полным квадратом суммы: $x^{-2} + 2x^{-1}y^{-1} + y^{-2} = (x^{-1} + y^{-1})^2$.

Выражение примет вид: $\frac{x^{-1} - y^{-1}}{x^{-1} + y^{-1}} - \frac{x^{-2}}{(x^{-1} + y^{-1})^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x^{-1} + y^{-1})^2$:

$\frac{(x^{-1} - y^{-1})(x^{-1} + y^{-1}) - x^{-2}}{(x^{-1} + y^{-1})^2}$

В числителе применим формулу разности квадратов:

$\frac{(x^{-1})^2 - (y^{-1})^2 - x^{-2}}{(x^{-1} + y^{-1})^2} = \frac{x^{-2} - y^{-2} - x^{-2}}{(x^{-1} + y^{-1})^2} = \frac{-y^{-2}}{(x^{-1} + y^{-1})^2}$

Запишем результат без отрицательных показателей:

$\frac{-\frac{1}{y^2}}{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})^2} = \frac{-\frac{1}{y^2}}{(\frac{y+x}{xy})^2} = \frac{-\frac{1}{y^2}}{\frac{(x+y)^2}{x^2y^2}} = -\frac{1}{y^2} \cdot \frac{x^2y^2}{(x+y)^2} = -\frac{x^2}{(x+y)^2}$

Ответ: $-\frac{x^2}{(x+y)^2}$

8) $\frac{a^{-4} + b^{-4}}{a^{-5}} \cdot \frac{a^{-3}}{a^{-2}b^{-4} + a^{-6}}$

Решение:

В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $a^{-2}$ за скобки: $a^{-2}b^{-4} + a^{-6} = a^{-2}(b^{-4} + a^{-4})$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{a^{-4} + b^{-4}}{a^{-5}} \cdot \frac{a^{-3}}{a^{-2}(a^{-4} + b^{-4})}$

Сократим общий множитель $(a^{-4} + b^{-4})$:

$\frac{1}{a^{-5}} \cdot \frac{a^{-3}}{a^{-2}} = \frac{a^{-3}}{a^{-5} \cdot a^{-2}}$

Используя свойства степеней, упростим выражение:

$\frac{a^{-3}}{a^{-5-2}} = \frac{a^{-3}}{a^{-7}} = a^{-3 - (-7)} = a^{-3+7} = a^4$

Ответ: $a^4$

9) $\frac{m^{-1} + 5n^{-1}}{n^{-2}} : \frac{m^{-2}n^{-1} + 5m^{-1}n^{-2}}{mn}$

Решение:

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{m^{-1} + 5n^{-1}}{n^{-2}} \cdot \frac{mn}{m^{-2}n^{-1} + 5m^{-1}n^{-2}}$

В знаменателе второй дроби вынесем общие множители $m^{-1}n^{-1}$ за скобки: $m^{-2}n^{-1} + 5m^{-1}n^{-2} = m^{-1}n^{-1}(m^{-1} + 5n^{-1})$.

Подставим это в выражение:

$\frac{m^{-1} + 5n^{-1}}{n^{-2}} \cdot \frac{mn}{m^{-1}n^{-1}(m^{-1} + 5n^{-1})}$

Сократим общий множитель $(m^{-1} + 5n^{-1})$:

$\frac{1}{n^{-2}} \cdot \frac{mn}{m^{-1}n^{-1}} = \frac{mn}{n^{-2}m^{-1}n^{-1}} = \frac{mn}{m^{-1}n^{-3}}$

Используя свойства степеней, упростим выражение:

$m^{1 - (-1)} n^{1 - (-3)} = m^{1+1}n^{1+3} = m^2n^4$

Ответ: $m^2n^4$