Номер 25, страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем - номер 25, страница 83.

Условие.

25. Упростите выражение ($n$ – целое число):

1) $ \frac{7^{n+1} - 7^{n-1}}{48} = $

2) $ \frac{2^n + 1}{2^{-n} + 1} = 2^{-n} \left( \frac{2^n + 1}{\quad} + \quad \right) = $

3) $ \frac{10^{-n} + 10^n}{10^{2n} + 1} = $

Решение.

1) Упростим выражение $\frac{7^{n+1} - 7^{n-1}}{48}$.

Воспользуемся свойствами степеней: $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$. Вынесем за скобки в числителе общий множитель с наименьшим показателем, то есть $7^{n-1}$.

Для этого представим $7^{n+1}$ в виде $7^{(n-1)+2} = 7^{n-1} \cdot 7^2 = 49 \cdot 7^{n-1}$.

Теперь выражение в числителе можно переписать:

$7^{n+1} - 7^{n-1} = 49 \cdot 7^{n-1} - 1 \cdot 7^{n-1} = (49-1) \cdot 7^{n-1} = 48 \cdot 7^{n-1}$.

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{48 \cdot 7^{n-1}}{48}$.

Сократим числитель и знаменатель на 48, получим:

$7^{n-1}$.

Ответ: $7^{n-1}$.

2) Упростим выражение $\frac{2^n + 1}{2^{-n} + 1}$.

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$.

Перепишем знаменатель дроби:

$2^{-n} + 1 = \frac{1}{2^n} + 1$.

Приведем выражение в знаменателе к общему знаменателю:

$\frac{1}{2^n} + 1 = \frac{1}{2^n} + \frac{2^n}{2^n} = \frac{1 + 2^n}{2^n}$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$\frac{2^n + 1}{\frac{1 + 2^n}{2^n}}$.

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей (перевернутую) дробь:

$(2^n + 1) \cdot \frac{2^n}{1 + 2^n}$.

Сократим одинаковые множители $(2^n + 1)$ и $(1 + 2^n)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(2^n + 1) \cdot 2^n}{1 + 2^n} = 2^n$.

Ответ: $2^n$.

3) Упростим выражение $\frac{10^{-n} + 10^n}{10^{2n} + 1}$.

Сначала преобразуем числитель. Используем свойство $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$ и приведем слагаемые к общему знаменателю:

$10^{-n} + 10^n = \frac{1}{10^n} + 10^n = \frac{1}{10^n} + \frac{10^n \cdot 10^n}{10^n} = \frac{1 + 10^{2n}}{10^n}$.

Теперь подставим полученный числитель в исходную дробь:

$\frac{\frac{1 + 10^{2n}}{10^n}}{10^{2n} + 1}$.

Запишем данную "многоэтажную" дробь в виде деления, а затем умножения:

$\frac{1 + 10^{2n}}{10^n} \div (10^{2n} + 1) = \frac{1 + 10^{2n}}{10^n \cdot (10^{2n} + 1)}$.

Так как выражения в скобках $(1 + 10^{2n})$ и $(10^{2n} + 1)$ равны, мы можем их сократить:

$\frac{1}{10^n}$.

Используя свойство степени, запишем результат в виде степени с отрицательным показателем:

$\frac{1}{10^n} = 10^{-n}$.

Ответ: $10^{-n}$.