Номер 7, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 10. Функция y = k/x и её график - номер 7, страница 86.

Условие.

7. Задана функция $y = \frac{2,5}{x}$

1) Заполните таблицу значений функции и постройте её график.

Таблица: x y

Координатная плоскость с осями x и y, начало координат (0,0) и метками 1 на каждой оси.

2) Заполните пропуски.

а) Функция принимает положительные значения при x _____

б) Функция принимает отрицательные значения при x _____

Решение.

1) Заполните таблицу значений функции и постройте её график.

Заданная функция — это обратная пропорциональность вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = -2.5$. Графиком такой функции является гипербола.

Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему. Для этого выберем несколько значений аргумента $x$ (кроме $x=0$, так как на ноль делить нельзя) и вычислим соответствующие значения функции $y = - \frac{2.5}{x}$. Удобно выбирать значения $x$, на которые легко делить 2.5.

Вычислим значения функции для нескольких точек:

• При $x = -5$: $y = - \frac{2.5}{-5} = 0.5$
• При $x = -2.5$: $y = - \frac{2.5}{-2.5} = 1$
• При $x = -1$: $y = - \frac{2.5}{-1} = 2.5$
• При $x = -0.5$: $y = - \frac{2.5}{-0.5} = 5$
• При $x = 0.5$: $y = - \frac{2.5}{0.5} = -5$
• При $x = 1$: $y = - \frac{2.5}{1} = -2.5$
• При $x = 2.5$: $y = - \frac{2.5}{2.5} = -1$
• При $x = 5$: $y = - \frac{2.5}{5} = -0.5$

Заполним таблицу, используя четыре из этих значений:

x	-5	-1	1	5
y	0.5	2.5	-2.5	-0.5

Теперь построим график. Для большей точности отметим все вычисленные точки: $(-5; 0.5)$, $(-2.5; 1)$, $(-1; 2.5)$, $(-0.5; 5)$, $(0.5; -5)$, $(1; -2.5)$, $(2.5; -1)$, $(5; -0.5)$ на координатной плоскости и соединим их плавными линиями. Так как коэффициент $k = -2.5 < 0$, ветви гиперболы будут располагаться во II и IV координатных четвертях.

Ответ: Таблица и график представлены выше.

2) Заполните пропуски.

а) Функция принимает положительные значения при x __________

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y = - \frac{2.5}{x}$ принимает положительные значения, нужно решить неравенство $y > 0$.

$- \frac{2.5}{x} > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\frac{2.5}{x} < 0$

Так как числитель дроби $2.5$ является положительным числом, то для того, чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель $x$ должен быть отрицательным.

Следовательно, $x < 0$. Это также видно из графика: ветвь гиперболы, расположенная выше оси Ox (где $y>0$), соответствует отрицательным значениям $x$.

Ответ: $x < 0$.

б) Функция принимает отрицательные значения при x __________

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y = - \frac{2.5}{x}$ принимает отрицательные значения, нужно решить неравенство $y < 0$.

$- \frac{2.5}{x} < 0$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\frac{2.5}{x} > 0$

Так как числитель дроби $2.5$ является положительным числом, то для того, чтобы вся дробь была положительной, знаменатель $x$ также должен быть положительным.

Следовательно, $x > 0$. Это также видно из графика: ветвь гиперболы, расположенная ниже оси Ox (где $y<0$), соответствует положительным значениям $x$.

Ответ: $x > 0$.