Номер 10, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 10. Функция y = k/x и её график - номер 10, страница 88.

Условие.

10. Определите графически количество корней уравнения:

1) $\frac{7}{x} = 7 - x$;

2) $\frac{7}{x} = 4 - 2x.$

Решение.

Ответ: 1)

2)

Решение.

Чтобы определить количество корней уравнения графически, нужно представить левую и правую части уравнения в виде двух функций, построить их графики в одной системе координат и найти количество точек их пересечения. Количество точек пересечения будет равно количеству корней уравнения.

1) $\frac{7}{x} = 7 - x$

Рассмотрим две функции: $y = \frac{7}{x}$ и $y = 7 - x$.

1. График функции $y = \frac{7}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты — оси координат. Построим её по точкам:

• при $x=1$, $y=7$
• при $x=2$, $y=3.5$
• при $x=3.5$, $y=2$
• при $x=7$, $y=1$
• при $x=-1$, $y=-7$
• при $x=-7$, $y=-1$

2. График функции $y = 7 - x$ — это прямая. Для её построения достаточно двух точек:

• при $x=0$, $y=7$ (точка пересечения с осью Oy: (0; 7))
• при $y=0$, $x=7$ (точка пересечения с осью Ox: (7; 0))

3. Построим оба графика в одной системе координат. Прямая $y = 7 - x$ пересекает первую ветвь гиперболы (в I четверти) в двух точках. В III четверти, где $x < 0$, значения функции $y = 7 - x$ всегда положительны ($y > 7$), а значения функции $y = \frac{7}{x}$ — отрицательны, поэтому пересечений в этой четверти нет. Следовательно, графики пересекаются в двух точках.

Количество точек пересечения графиков — 2, значит, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2

2) $\frac{7}{x} = 4 - 2x$

Рассмотрим две функции: $y = \frac{7}{x}$ и $y = 4 - 2x$.

1. График функции $y = \frac{7}{x}$ — та же самая гипербола, что и в первом пункте.

2. График функции $y = 4 - 2x$ — это прямая. Для её построения найдем две точки:

• при $x=0$, $y=4$ (точка пересечения с осью Oy: (0; 4))
• при $y=0$, $2x=4$, $x=2$ (точка пересечения с осью Ox: (2; 0))

3. Построим оба графика в одной системе координат. В I четверти ($x > 0$) ветвь гиперболы расположена выше, чем прямая. Например, при $x=1$ для гиперболы $y=7$, а для прямой $y=4-2(1)=2$. При $x=2$ для гиперболы $y=3.5$, а для прямой $y=4-2(2)=0$. В III четверти ($x < 0$) ветвь гиперболы расположена в области отрицательных значений $y$, а прямая $y = 4 - 2x$ — в области положительных значений $y$. Следовательно, графики функций не пересекаются.

Количество точек пересечения графиков — 0, значит, уравнение не имеет корней.

Ответ: 0