Номер 15, страница 91, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 10. Функция y = k/x и её график - номер 15, страница 91.

Условие.

* 15. Постройте график функции $y = \frac{2|x| - 2}{|x| - x^2}$. Определите, при каких значениях k прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Решение.

Имеем: $\frac{2|x| - 2}{|x| - x^2} = \frac{2|x| - 2}{|x| - |x|^2} =$

$= \frac{2( )}{|x|( )} =$

Ответ:

Решение.

Построение графика функции

Исходная функция: $y = \frac{2|x| - 2}{|x| - x^2}$.

Сначала найдём область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$|x| - x^2 \neq 0$
Поскольку $x^2 = |x|^2$, перепишем условие:
$|x| - |x|^2 \neq 0$
$|x|(1 - |x|) \neq 0$
Отсюда получаем, что $|x| \neq 0$ и $1 - |x| \neq 0$.
Следовательно, $x \neq 0$, $|x| \neq 1$, то есть $x \neq -1$ и $x \neq 1$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции на её области определения:
$y = \frac{2|x| - 2}{|x| - x^2} = \frac{2(|x| - 1)}{|x| - |x|^2} = \frac{2(|x| - 1)}{|x|(1 - |x|)} = \frac{-2(1 - |x|)}{|x|(1 - |x|)}$
Так как $x \neq \pm 1$, то $1 - |x| \neq 0$, и мы можем сократить дробь:
$y = -\frac{2}{|x|}$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{2}{|x|}$ при всех $x$ из области определения. На графике будут две "выколотые" точки, соответствующие значениям $x = -1$ и $x = 1$.
Найдём координаты этих точек:
При $x = 1$, $y = -\frac{2}{|1|} = -2$. Координаты первой выколотой точки: $(1, -2)$.
При $x = -1$, $y = -\frac{2}{|-1|} = -2$. Координаты второй выколотой точки: $(-1, -2)$.

Построим график функции $y = -\frac{2}{|x|}$:
- Если $x > 0$, то $y = -\frac{2}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в четвёртой координатной четверти.
- Если $x < 0$, то $y = -\frac{2}{-x} = \frac{2}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти.
График симметричен относительно оси Oy. Асимптоты: $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox).
На этом графике отметим выколотые точки $(1, -2)$ и $(-1, -2)$.

Определение значений k

Прямая $y = kx$ представляет собой семейство прямых, проходящих через начало координат $(0, 0)$. Коэффициент $k$ является её угловым коэффициентом.

Прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек в следующих случаях:
1. Прямая проходит через одну из выколотых точек, не пересекая график в других местах.
- Прямая проходит через точку $(1, -2)$:
Подставим координаты в уравнение прямой: $-2 = k \cdot 1$, откуда $k = -2$. При $k = -2$ прямая $y = -2x$ проходит через выколотую точку $(1, -2)$. Проверим, пересекает ли она другую ветвь графика (при $x < 0$, где $y = 2/x$): $-2x = 2/x \implies x^2 = -1$. Действительных корней нет. Значит, при $k = -2$ общих точек нет.
- Прямая проходит через точку $(-1, -2)$:
Подставим координаты: $-2 = k \cdot (-1)$, откуда $k = 2$. При $k=2$ прямая $y = 2x$ проходит через выколотую точку $(-1, -2)$. Проверим, пересекает ли она другую ветвь графика (при $x > 0$, где $y = -2/x$): $2x = -2/x \implies x^2 = -1$. Действительных корней нет. Значит, при $k = 2$ общих точек нет.

2. Прямая не пересекает график ни в одной точке.
Весь график функции расположен ниже оси Ox (т.е. $y < 0$). Прямая $y=kx$ при $k=0$ совпадает с осью Ox ($y=0$). Так как график не пересекает ось Ox, то при $k=0$ общих точек нет.

Во всех остальных случаях прямая $y=kx$ будет иметь с графиком ровно одну общую точку. Объединяя все случаи, получаем, что прямая $y=kx$ не имеет с графиком функции общих точек при $k=-2$, $k=0$ и $k=2$.

Ответ: -2; 0; 2.