Номер 14, страница 91, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 10. Функция y = k/x и её график - номер 14, страница 91.

Условие.

14. Постройте график функции $y = \frac{24 - 6x^2}{x^3 - 4x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$:

1) имеет с графиком одну общую точку;

2) не имеет с графиком общих точек.

Решение.

Ответ: 1)

2)

Решение.

Сначала преобразуем функцию. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $24 - 6x^2 = 6(4 - x^2) = 6(2 - x)(2 + x) = -6(x - 2)(x + 2)$.

Знаменатель: $x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$.

Теперь запишем функцию в новом виде:

$y = \frac{-6(x - 2)(x + 2)}{x(x - 2)(x + 2)}$

Область определения функции (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.

$x(x - 2)(x + 2) \neq 0$, следовательно $x \neq 0$, $x \neq 2$, $x \neq -2$.

При $x \neq 2$ и $x \neq -2$ мы можем сократить дробь:

$y = -\frac{6}{x}$

Таким образом, график исходной функции — это гипербола $y = -\frac{6}{x}$ с двумя "выколотыми" точками, так как $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Найдем координаты этих точек:

• При $x = 2$, $y = -\frac{6}{2} = -3$. Координаты первой выколотой точки: $(2; -3)$.
• При $x = -2$, $y = -\frac{6}{-2} = 3$. Координаты второй выколотой точки: $(-2; 3)$.

График функции $y = kx$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$.

Количество общих точек графика функции и прямой $y=kx$ соответствует количеству решений системы уравнений:

$\begin{cases} y = -\frac{6}{x} \\ y = kx \end{cases}$

Приравниваем правые части: $kx = -\frac{6}{x}$, что приводит к уравнению $kx^2 = -6$, или $x^2 = -\frac{6}{k}$.

Теперь проанализируем количество решений этого уравнения в зависимости от значения $k$, учитывая ОДЗ.

1) имеет с графиком одну общую точку;

Уравнение $x^2 = -\frac{6}{k}$ может иметь два решения ($x = \pm\sqrt{-\frac{6}{k}}$), если $-\frac{6}{k} > 0$ (т.е. при $k < 0$), или не иметь решений, если $-\frac{6}{k} < 0$ (т.е. при $k > 0$). При $k=0$ решений также нет. Таким образом, у уравнения никогда не бывает одного решения.

Единственная возможность получить одну общую точку — это если прямая $y=kx$ пересекает гиперболу в двух точках, но одна из этих точек "выколота". Это произойдет, если прямая пройдет через одну из выколотых точек: $(2; -3)$ или $(-2; 3)$.

Проверим, при каком $k$ прямая проходит через точку $(2; -3)$:

$-3 = k \cdot 2 \Rightarrow k = -\frac{3}{2} = -1.5$

Проверим, при каком $k$ прямая проходит через точку $(-2; 3)$:

$3 = k \cdot (-2) \Rightarrow k = -\frac{3}{2} = -1.5$

Получается, что при $k = -1.5$ прямая $y = -1.5x$ проходит сразу через обе выколотые точки. В этом случае у прямой и графика нет ни одной общей точки, так как обе точки пересечения "выколоты".

Следовательно, не существует таких значений $k$, при которых прямая и график имеют ровно одну общую точку.

Ответ: таких значений $k$ нет.

2) не имеет с графиком общих точек.

Рассмотрим, в каких случаях у прямой и графика нет общих точек.

Случай 1: Уравнение $x^2 = -\frac{6}{k}$ не имеет действительных корней. Это происходит, когда правая часть отрицательна: $-\frac{6}{k} < 0$, что эквивалентно $k > 0$.

Случай 2: При $k=0$ прямая $y=0$ (ось Ox) не пересекает гиперболу $y = -6/x$.

Случай 3: Прямая проходит только через выколотые точки. Как мы выяснили в предыдущем пункте, это происходит при $k = -1.5$. При этом значении $k$ уравнение $x^2 = -\frac{6}{-1.5} = 4$ дает корни $x=2$ и $x=-2$, которые соответствуют абсциссам выколотых точек. Таким образом, при $k = -1.5$ у прямой и графика нет общих точек.

Объединяя все случаи, получаем, что прямая не имеет с графиком общих точек при $k \ge 0$ и при $k = -1.5$.

Ответ: $k = -1.5$ и $k \in [0; +\infty)$.