Номер 13, страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 10. Функция y = k/x и её график - номер 13, страница 90.

Условие.

13. Постройте график функции $y = \frac{3x - 3}{x^2 - x}$. Определите, при каких значениях k прямая $y = kx$ имеет с графиком одну общую точку.

Решение.

Имеем: $\frac{3x - 3}{x^2 - x} = \frac{3(x - 1)}{x(x - 1)} = \frac{3}{x}$, то есть $y = \frac{3}{x}$, где $x \neq 1$. Следовательно, искомым графиком являются все точки гиперболы $y = \frac{3}{x}$, за исключением одной точки, абсцисса которой равна

Ответ:

Решение.

Постройте график функции $y = \frac{3x - 3}{x^2 - x}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не должен равняться нулю:
$x^2 - x \neq 0 \implies x(x - 1) \neq 0$.
Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Теперь упростим выражение для функции, разложив числитель и знаменатель на множители:
$y = \frac{3(x - 1)}{x(x - 1)}$.
Поскольку $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$ и получить:
$y = \frac{3}{x}$.

Таким образом, график исходной функции — это гипербола $y = \frac{3}{x}$ с выколотой точкой при $x = 1$. Найдем координаты этой точки, подставив $x=1$ в уравнение $y = \frac{3}{x}$:
$y = \frac{3}{1} = 3$.
Координаты выколотой точки — $(1, 3)$.

Построим график. Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях и асимптотами $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox). На графике необходимо отметить выколотую точку $(1, 3)$.

Ответ: График функции представляет собой гиперболу $y=\frac{3}{x}$ с выколотой точкой $(1, 3)$.

Определите, при каких значениях k прямая $y = kx$ имеет с графиком одну общую точку

Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Чтобы найти общие точки этой прямой с графиком функции $y = \frac{3}{x}$ (при $x \neq 1$), решим систему уравнений:
$\begin{cases} y = kx \\ y = \frac{3}{x} \end{cases}$
Приравняв правые части, получим: $kx = \frac{3}{x}$, что эквивалентно $kx^2 = 3$ (поскольку $x \neq 0$).

Если $k \le 0$, уравнение $kx^2=3$ не имеет действительных решений, так как левая часть ($kx^2$) неположительна, а правая ($3$) положительна. Значит, общих точек нет.
Если $k > 0$, уравнение имеет два корня: $x = \pm\sqrt{\frac{3}{k}}$. Это соответствует двум точкам пересечения прямой $y=kx$ с гиперболой $y=\frac{3}{x}$.

Для того чтобы общая точка с графиком исходной функции была только одна, необходимо, чтобы одна из двух точек пересечения соответствовала выколотой точке, то есть имела абсциссу $x=1$.
Поскольку корень $x = -\sqrt{\frac{3}{k}}$ отрицателен (при $k>0$), он не может быть равен 1. Следовательно, положительный корень должен быть равен 1:
$\sqrt{\frac{3}{k}} = 1$.
Возведя обе части в квадрат, получаем $\frac{3}{k} = 1$, откуда $k = 3$.

При $k=3$ прямая $y=3x$ проходит через выколотую точку $(1, 3)$ и пересекает график функции в единственной точке с абсциссой $x = -1$ (координаты точки $(-1, -3)$).

Ответ: $3$.