Номер 12, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 10. Функция y = k/x и её график - номер 12, страница 89.

Условие.

12. Постройте график функции:

$1) y = \begin{cases} \frac{8}{x}, & \text{если } x \le -2 \\ x-2, & \text{если } -2 < x < 1 \\ -1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Решение.

Если $x \le -2$, то графиком данной функции является часть ветви гиперболы $y = \frac{8}{x}$.

Если $-2 < x < 1$, то графиком является отрезок прямой $y = x - 2$.

Если $x \ge -1$, то графиком является луч, лежащий на горизонтальной прямой $y = -1$.

$2) y = \begin{cases} -x-1, & \text{если } x < -3 \\ -\frac{6}{x}, & \text{если } -3 \le x < 0 \\ \frac{6}{x}, & \text{если } 0 < x \le 3 \\ x-1, & \text{если } x > 3 \end{cases}$

Решение.

Решение.

1)

Данная функция является кусочно-заданной. График состоит из трех частей, каждая на своем промежутке.

Шаг 1. Построим график функции $y = \frac{8}{x}$ на промежутке $x \le -2$.

Это часть ветви гиперболы, расположенной в третьей координатной четверти. Для построения найдем несколько точек:

• Если $x = -2$, то $y = \frac{8}{-2} = -4$. Точка $(-2, -4)$ принадлежит графику.
• Если $x = -4$, то $y = \frac{8}{-4} = -2$. Точка $(-4, -2)$ принадлежит графику.
• Если $x = -8$, то $y = \frac{8}{-8} = -1$. Точка $(-8, -1)$ принадлежит графику.

График представляет собой кривую, проходящую через эти точки, начинающуюся в точке $(-2, -4)$ и уходящую влево, приближаясь к оси абсцисс.

Шаг 2. Построим график функции $y = x - 2$ на промежутке $-2 < x < 1$.

Это отрезок прямой. Для его построения найдем координаты концов отрезка. Так как неравенство строгое, эти точки будут выколотыми (не принадлежать графику этой части).

• При $x = -2$, $y = -2 - 2 = -4$. Координаты первой точки $(-2, -4)$.
• При $x = 1$, $y = 1 - 2 = -1$. Координаты второй точки $(1, -1)$.

Соединяем эти две точки отрезком прямой.

Шаг 3. Построим график функции $y = -1$ на промежутке $x \ge 1$.

Это горизонтальный луч, выходящий из точки с абсциссой $x = 1$.

• При $x = 1$, $y = -1$. Точка $(1, -1)$ является началом луча и принадлежит графику.

Луч параллелен оси Ox и направлен вправо.

Шаг 4. Объединим все части на одной координатной плоскости.

В точке $x = -2$ первая часть графика заканчивается в точке $(-2, -4)$, а вторая часть начинается в этой же точке. Таким образом, в точке $x = -2$ разрыва нет, и точка $(-2, -4)$ закрашена.

В точке $x = 1$ вторая часть графика заканчивается в точке $(1, -1)$, а третья часть начинается в этой же точке. Таким образом, в точке $x = 1$ разрыва нет, и точка $(1, -1)$ закрашена.

Итоговый график является непрерывной линией.

Ответ: График функции состоит из трех частей: 1) ветвь гиперболы $y=8/x$ от бесконечности до точки $(-2, -4)$ включительно; 2) отрезок прямой $y=x-2$, соединяющий точки $(-2, -4)$ и $(1, -1)$; 3) горизонтальный луч $y=-1$, выходящий из точки $(1, -1)$ вправо.

2)

Данная функция является кусочно-заданной. График состоит из четырех частей. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Шаг 1. Исследуем функцию на четность.

Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \begin{cases} -(-x) - 1, & \text{если } -x < -3 \\ -\frac{6}{-x}, & \text{если } -3 \le -x < 0 \\ \frac{6}{-x}, & \text{если } 0 < -x \le 3 \\ (-x) - 1, & \text{если } -x > 3 \end{cases} = \begin{cases} x - 1, & \text{если } x > 3 \\ \frac{6}{x}, & \text{если } 0 < x \le 3 \\ -\frac{6}{x}, & \text{если } -3 \le x < 0 \\ -x - 1, & \text{если } x < -3 \end{cases}$

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $y(-x) = y(x)$. Следовательно, функция является четной, и ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Это позволяет нам построить график только для $x > 0$, а затем отразить его симметрично относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x < 0$.

Шаг 2. Построим график для $x > 0$.

a) На промежутке $0 < x \le 3$ строим график функции $y = \frac{6}{x}$. Это часть ветви гиперболы в первой координатной четверти. Найдем несколько точек:

• Если $x = 1$, то $y = 6$.
• Если $x = 2$, то $y = 3$.
• Если $x = 3$, то $y = 2$. Точка $(3, 2)$ принадлежит графику.

При приближении $x$ к 0 справа ($x \to 0+$), $y$ стремится к $+\infty$. Ось Oy является вертикальной асимптотой.

б) На промежутке $x > 3$ строим график функции $y = x - 1$. Это луч. Найдем его начальную точку и еще одну точку:

• При $x=3$, $y = 3-1 = 2$. Точка $(3, 2)$ является началом луча, но она выколота, так как неравенство строгое.
• Возьмем, например, $x=4$, тогда $y=4-1=3$.

Соединяем точки $(3,2)$ и $(4,3)$ и продолжаем луч вправо и вверх.

В точке $x=3$ значение функции по первой формуле $y(3)=2$ совпадает со значением на границе для второй формулы, поэтому график в этой точке непрерывен. Точка $(3,2)$ закрашена.

Шаг 3. Построим график для $x < 0$.

Отразим часть графика для $x>0$ симметрично относительно оси Oy.

• Ветвь гиперболы $y=6/x$ на $(0, 3]$ отразится в ветвь гиперболы $y=-6/x$ на $[-3, 0)$. Точки $(1,6), (2,3), (3,2)$ перейдут в $(-1,6), (-2,3), (-3,2)$. Ось Oy остается вертикальной асимптотой ($y \to +\infty$ при $x \to 0-$).
• Луч $y=x-1$ на $(3, +\infty)$ отразится в луч $y=-x-1$ на $(-\infty, -3)$. Точки $(3,2), (4,3)$ перейдут в $(-3,2), (-4,3)$.

Шаг 4. Итоговый график.

График симметричен относительно оси Oy, имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и состоит из четырех частей, соединенных в точках $(-3, 2)$ и $(3, 2)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Для $x>0$ он состоит из ветви гиперболы $y=6/x$ на интервале $(0, 3]$ (с асимптотой $x=0$ и конечной точкой $(3,2)$) и луча $y=x-1$, выходящего из точки $(3,2)$ вправо-вверх. Для $x<0$ график является зеркальным отражением части для $x>0$. Он состоит из луча $y=-x-1$, идущего до точки $(-3,2)$, и ветви гиперболы $y=-6/x$ на интервале $[-3, 0)$ (с асимптотой $x=0$ и начальной точкой $(-3,2)$).