Номер 18, страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем - номер 18, страница 77.

Условие.

18. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:

1) $-2,7a^{-5}b^6 \cdot (-3a^{-2}c^6)^{-3} =$

2) $(-5x^{-3}yz^7)^{-2} \cdot (0,2yz^{-5})^{-2} =$

3) $\left(\frac{m^4}{4n^{-3}}\right)^3 \cdot (0,5m^3n^2)^{-4} =$

4) $\left(\frac{b^{-3}c^4}{7}\right)^2 : \left(\frac{14}{m^{-2}n^3}\right)^{-3} =$

Решение.

1) $-2,7a^{-5}b^6 \cdot (-3a^{-2}c^6)^{-3}$

Сначала упростим второй множитель, возведя каждый сомножитель в степень $-3$, используя свойство $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:
$(-3a^{-2}c^6)^{-3} = (-3)^{-3} \cdot (a^{-2})^{-3} \cdot (c^6)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} \cdot a^{(-2) \cdot (-3)} \cdot c^{6 \cdot (-3)} = -\frac{1}{27} a^6 c^{-18}$.

Теперь умножим это выражение на первый множитель. Представим десятичную дробь $-2,7$ в виде обыкновенной дроби: $-2,7 = -\frac{27}{10}$.
$-2,7a^{-5}b^6 \cdot (-\frac{1}{27} a^6 c^{-18}) = (-\frac{27}{10}a^{-5}b^6) \cdot (-\frac{1}{27} a^6 c^{-18})$.

Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$(-\frac{27}{10} \cdot (-\frac{1}{27})) \cdot (a^{-5} \cdot a^6) \cdot b^6 \cdot c^{-18} = \frac{27}{270} \cdot a^{-5+6} \cdot b^6 \cdot c^{-18} = \frac{1}{10} a^1 b^6 c^{-18} = 0,1ab^6c^{-18}$.

Приведем выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:
$0,1ab^6c^{-18} = \frac{0,1ab^6}{c^{18}}$.

Ответ: $\frac{0,1ab^6}{c^{18}}$

2) $(-5x^{-3}yz^7)^{-2} \cdot (0,2yz^{-5})^{-2}$

Воспользуемся свойством $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Так как оба множителя возводятся в одну и ту же степень $-2$, можно сначала перемножить основания, а затем возвести результат в степень: $(-5x^{-3}yz^7 \cdot 0,2yz^{-5})^{-2}$.

Упростим выражение в скобках. Представим $0,2$ как $\frac{1}{5}$ и перемножим соответствующие коэффициенты и переменные:
$(-5 \cdot \frac{1}{5}) \cdot x^{-3} \cdot (y \cdot y) \cdot (z^7 \cdot z^{-5}) = -1 \cdot x^{-3} \cdot y^{1+1} \cdot z^{7+(-5)} = -x^{-3}y^2z^2$.

Теперь возведем полученное выражение в степень $-2$:
$(-x^{-3}y^2z^2)^{-2} = (-1)^{-2} \cdot (x^{-3})^{-2} \cdot (y^2)^{-2} \cdot (z^2)^{-2} = \frac{1}{(-1)^2} \cdot x^{(-3) \cdot (-2)} \cdot y^{2 \cdot (-2)} \cdot z^{2 \cdot (-2)} = 1 \cdot x^6 \cdot y^{-4} \cdot z^{-4} = x^6y^{-4}z^{-4}$.

Избавимся от отрицательных показателей степени:
$x^6y^{-4}z^{-4} = \frac{x^6}{y^4z^4}$.

Ответ: $\frac{x^6}{y^4z^4}$

3) $(\frac{m^4}{4n^{-3}})^3 \cdot (0,5m^3n^2)^{-4}$

Упростим каждый множитель по отдельности.
Для первого множителя: $(\frac{m^4}{4n^{-3}})^3$. Сначала преобразуем основание, переместив $n^{-3}$ из знаменателя в числитель: $\frac{m^4n^3}{4}$.
Теперь возведем в куб: $(\frac{m^4n^3}{4})^3 = \frac{(m^4)^3(n^3)^3}{4^3} = \frac{m^{12}n^9}{64}$.

Для второго множителя: $(0,5m^3n^2)^{-4}$. Представим $0,5$ как $\frac{1}{2}$.
$(\frac{1}{2}m^3n^2)^{-4} = (\frac{1}{2})^{-4} \cdot (m^3)^{-4} \cdot (n^2)^{-4} = 2^4 \cdot m^{3 \cdot (-4)} \cdot n^{2 \cdot (-4)} = 16m^{-12}n^{-8}$.

Теперь перемножим упрощенные выражения:
$\frac{m^{12}n^9}{64} \cdot 16m^{-12}n^{-8} = \frac{16}{64} \cdot (m^{12} \cdot m^{-12}) \cdot (n^9 \cdot n^{-8})$.

Упростим коэффициенты и переменные:
$\frac{1}{4} \cdot m^{12-12} \cdot n^{9-8} = \frac{1}{4} \cdot m^0 \cdot n^1 = \frac{1}{4} \cdot 1 \cdot n = \frac{n}{4}$.

Ответ: $\frac{n}{4}$

4) $(\frac{b^{-3}c^4}{7})^2 \div (\frac{14}{m^{-2}n^3})^{-3}$

Упростим делимое:
$(\frac{b^{-3}c^4}{7})^2 = \frac{(b^{-3})^2(c^4)^2}{7^2} = \frac{b^{-6}c^8}{49}$.

Упростим делитель. Используем свойство $(\frac{A}{B})^{-n} = (\frac{B}{A})^n$:
$(\frac{14}{m^{-2}n^3})^{-3} = (\frac{m^{-2}n^3}{14})^3 = \frac{(m^{-2})^3(n^3)^3}{14^3} = \frac{m^{-6}n^9}{2744}$.

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{b^{-6}c^8}{49} \div \frac{m^{-6}n^9}{2744} = \frac{b^{-6}c^8}{49} \cdot \frac{2744}{m^{-6}n^9}$.

Выполним умножение. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{2744}{49} = \frac{14^3}{7^2} = \frac{(2 \cdot 7)^3}{7^2} = \frac{8 \cdot 7^3}{7^2} = 8 \cdot 7 = 56$.
Получаем: $56 \cdot \frac{b^{-6}c^8}{m^{-6}n^9}$.

Приведем выражение к виду, не содержащему отрицательных степеней. $b^{-6}$ перейдет в знаменатель как $b^6$, а $m^{-6}$ из знаменателя перейдет в числитель как $m^6$:
$\frac{56c^8m^6}{b^6n^9}$.

Ответ: $\frac{56c^8m^6}{b^6n^9}$