Номер 3, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем - номер 3, страница 70.

Условие.

3. Представьте дробь в виде степени с целым отрицательным показателем или в виде произведения степеней.

1) $\frac{1}{11^3} = 11^{-3}$

2) $\frac{1}{x^{10}} = $

3) $\frac{x^2}{y} = x^2y^{-1}$

4) $\frac{a^3}{b^6} = $

5) $\frac{m^5}{n^4k^9} = $

6) $\frac{(a-b)^8}{(a+b)^{12}} = $

Решение.

1) Чтобы представить дробь в виде степени с целым отрицательным показателем, используется основное свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Для дроби $\frac{1}{11^3}$ основание $a=11$, а показатель степени $n=3$. Применяя свойство, получаем:
$\frac{1}{11^3} = 11^{-3}$
Ответ: $11^{-3}$

2) Аналогично предыдущему пункту, для дроби $\frac{1}{x^{10}}$ мы применяем то же свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Здесь основанием является переменная $x$, а показателем степени $n=10$.
Таким образом, получаем:
$\frac{1}{x^{10}} = x^{-10}$
Ответ: $x^{-10}$

3) Дробь $\frac{x^2}{y}$ необходимо представить в виде произведения степеней. Для этого мы можем записать дробь как произведение числителя на знаменатель в степени $-1$. Учитывая, что $y = y^1$, получаем:
$\frac{x^2}{y} = x^2 \cdot \frac{1}{y} = x^2 \cdot \frac{1}{y^1} = x^2 y^{-1}$
Ответ: $x^2 y^{-1}$

4) Дробь $\frac{a^3}{b^6}$ представляется в виде произведения степеней. Мы переписываем ее как произведение числителя на множитель, обратный знаменателю:
$\frac{a^3}{b^6} = a^3 \cdot \frac{1}{b^6}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем, преобразуем второй множитель:
$\frac{1}{b^6} = b^{-6}$
В результате получаем:
$\frac{a^3}{b^6} = a^3 b^{-6}$
Ответ: $a^3 b^{-6}$

5) Для преобразования дроби $\frac{m^5}{n^4 k^9}$ в произведение степеней, мы представляем каждый множитель в знаменателе в виде степени с отрицательным показателем.
$\frac{m^5}{n^4 k^9} = m^5 \cdot \frac{1}{n^4} \cdot \frac{1}{k^9}$
Применяя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ к каждому множителю из знаменателя, получаем:
$\frac{1}{n^4} = n^{-4}$ и $\frac{1}{k^9} = k^{-9}$
Таким образом, итоговое выражение:
$\frac{m^5}{n^4 k^9} = m^5 n^{-4} k^{-9}$
Ответ: $m^5 n^{-4} k^{-9}$

6) Дробь $\frac{(a - b)^8}{(a + b)^{12}}$ преобразуется аналогично. Здесь основаниями степеней являются целые выражения в скобках.
Представим дробь как произведение:
$\frac{(a - b)^8}{(a + b)^{12}} = (a - b)^8 \cdot \frac{1}{(a + b)^{12}}$
Теперь преобразуем множитель со знаменателем в степень с отрицательным показателем:
$\frac{1}{(a + b)^{12}} = (a + b)^{-12}$
В результате получаем произведение степеней:
$\frac{(a - b)^8}{(a + b)^{12}} = (a - b)^8 (a + b)^{-12}$
Ответ: $(a - b)^8 (a + b)^{-12}$