Номер 12, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения - номер 12, страница 68.

Условие.

12. При каких значениях a уравнение $\frac{(x - a)(x + 5a)}{x - 20} = 0$ имеет один корень?

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Дробно-рациональное уравнение равно нулю, когда его числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Для уравнения $ \frac{(x-a)(x+5a)}{x-20} = 0 $ это означает выполнение системы условий:

$ \begin{cases} (x-a)(x+5a) = 0, \\ x - 20 \neq 0. \end{cases} $

Из первого уравнения получаем два потенциальных корня: $x_1 = a$ и $x_2 = -5a$.

Второе условие $x \neq 20$ исключает значение 20 из множества корней.

Уравнение будет иметь ровно один корень в следующих случаях:

1. Корни числителя совпадают, и этот единственный корень не равен 20.

Совпадение корней означает $x_1 = x_2$, то есть $a = -5a$. Отсюда $6a = 0$, следовательно, $a=0$.

При $a=0$ корень $x=0$. Так как $0 \neq 20$, это значение параметра $a$ подходит.

2. Один из корней числителя равен 20 (и поэтому отбрасывается), а другой не равен 20 (и является единственным решением).

а) Пусть $x_1=a$ является посторонним корнем, то есть $a=20$. Тогда второй корень $x_2 = -5a = -5 \cdot 20 = -100$. Так как $-100 \neq 20$, при $a=20$ уравнение имеет единственный корень $x=-100$. Это значение параметра $a$ подходит.

б) Пусть $x_2=-5a$ является посторонним корнем, то есть $-5a=20$, откуда $a=-4$. Тогда первый корень $x_1 = a = -4$. Так как $-4 \neq 20$, при $a=-4$ уравнение имеет единственный корень $x=-4$. Это значение параметра $a$ подходит.

Таким образом, мы нашли три значения параметра $a$, при которых уравнение имеет один корень.

Ответ:

-4; 0; 20.