Номер 5, страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения - номер 5, страница 61.

Условие.

5. Решите уравнение:

1) $ \frac{x-3}{x-2} + \frac{x}{x+2} = \frac{x^2-x-6}{x^2-4} $;

Решение.

Имеем: $ \frac{x-3}{x-2} + \frac{x}{x+2} - \frac{x^2-x-6}{x^2-4} = 0 $.

Представим левую часть полученного уравнения в виде дроби:

Ответ:

2) $ \frac{2x^2+21}{9-x^2} + \frac{x+3}{x-3} = \frac{4}{x+3} $;

Решение.

Имеем: $ \frac{2x^2+21}{9-x^2} - \frac{x+3}{3-x} - \frac{4}{x+3} = 0 $.

Ответ:

3) $ \frac{y-5}{y+5} = \frac{y+5}{y-5} + \frac{100}{25-y^2} $;

Решение.

Ответ:

4) $ \frac{x+1}{x-6} + \frac{x-6}{x} = \frac{x^2-11x+72}{x^2-6x} $;

Решение.

Имеем: $ \frac{x+1}{x-6} + \frac{x-6}{x} - \frac{x^2-11x+72}{x(x-6)} = 0 $.

Ответ:

Решение.

1) $\frac{x-3}{x-2} + \frac{x}{x+2} = \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 4}$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем к общему знаменателю.
ОДЗ (Область допустимых значений): $x-2 \neq 0$, $x+2 \neq 0$, $x^2-4 \neq 0$. Отсюда $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
$\frac{x-3}{x-2} + \frac{x}{x+2} - \frac{x^2 - x - 6}{(x-2)(x+2)} = 0$
Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)$.
$\frac{(x-3)(x+2) + x(x-2) - (x^2 - x - 6)}{(x-2)(x+2)} = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим уравнение для числителя:
$(x-3)(x+2) + x(x-2) - (x^2 - x - 6) = 0$
$(x^2 + 2x - 3x - 6) + (x^2 - 2x) - x^2 + x + 6 = 0$
$x^2 - x - 6 + x^2 - 2x - x^2 + x + 6 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 + x^2 - x^2) + (-x - 2x + x) + (-6 + 6) = 0$
$x^2 - 2x = 0$
$x(x-2) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = 2$.
Проверяем корни по ОДЗ. $x=0$ удовлетворяет условию $x \neq \pm 2$. $x=2$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним корнем.
Ответ: $0$.

2) $\frac{2x^2 + 21}{9 - x^2} + \frac{x+3}{x-3} = \frac{4}{x+3}$

Перенесем все члены уравнения в левую часть.
ОДЗ: $9-x^2 \neq 0$, $x-3 \neq 0$, $x+3 \neq 0$. Отсюда $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
$\frac{2x^2 + 21}{(3-x)(3+x)} + \frac{x+3}{-(3-x)} - \frac{4}{x+3} = 0$
$\frac{2x^2 + 21}{(3-x)(3+x)} - \frac{x+3}{3-x} - \frac{4}{x+3} = 0$
Приведем к общему знаменателю $(3-x)(3+x) = 9-x^2$:
$\frac{2x^2 + 21 - (x+3)(x+3) - 4(3-x)}{(3-x)(3+x)} = 0$
Решаем уравнение для числителя:
$2x^2 + 21 - (x^2 + 6x + 9) - (12 - 4x) = 0$
$2x^2 + 21 - x^2 - 6x - 9 - 12 + 4x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(2x^2 - x^2) + (-6x + 4x) + (21 - 9 - 12) = 0$
$x^2 - 2x = 0$
$x(x-2) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = 2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 3$).
Ответ: $0; 2$.

3) $\frac{y-5}{y+5} = \frac{y+5}{y-5} + \frac{100}{25-y^2}$

Перенесем все члены уравнения в левую часть.
ОДЗ: $y+5 \neq 0$, $y-5 \neq 0$, $25-y^2 \neq 0$. Отсюда $y \neq 5$ и $y \neq -5$.
$\frac{y-5}{y+5} - \frac{y+5}{y-5} - \frac{100}{25-y^2} = 0$
Заметим, что $25-y^2 = -(y^2-25) = -(y-5)(y+5)$.
$\frac{y-5}{y+5} - \frac{y+5}{y-5} + \frac{100}{(y-5)(y+5)} = 0$
Приведем к общему знаменателю $(y-5)(y+5)$:
$\frac{(y-5)(y-5) - (y+5)(y+5) + 100}{(y-5)(y+5)} = 0$
Решаем уравнение для числителя:
$(y-5)^2 - (y+5)^2 + 100 = 0$
$(y^2 - 10y + 25) - (y^2 + 10y + 25) + 100 = 0$
$y^2 - 10y + 25 - y^2 - 10y - 25 + 100 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-20y + 100 = 0$
$-20y = -100$
$y = 5$
Проверяем корень по ОДЗ. $y=5$ не удовлетворяет условию $y \neq \pm 5$, поэтому является посторонним корнем.
Ответ: корней нет.

4) $\frac{x+1}{x-6} + \frac{x-6}{x} = \frac{x^2 - 11x + 72}{x^2 - 6x}$

Перенесем все члены уравнения в левую часть.
ОДЗ: $x \neq 0$, $x-6 \neq 0$, $x^2-6x \neq 0$. Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 6$.
$\frac{x+1}{x-6} + \frac{x-6}{x} - \frac{x^2 - 11x + 72}{x(x-6)} = 0$
Приведем к общему знаменателю $x(x-6)$:
$\frac{x(x+1) + (x-6)(x-6) - (x^2 - 11x + 72)}{x(x-6)} = 0$
Решаем уравнение для числителя:
$x(x+1) + (x-6)^2 - (x^2 - 11x + 72) = 0$
$(x^2 + x) + (x^2 - 12x + 36) - x^2 + 11x - 72 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 + x^2 - x^2) + (x - 12x + 11x) + (36 - 72) = 0$
$x^2 - 36 = 0$
$x^2 = 36$
$x_1 = 6$ или $x_2 = -6$.
Проверяем корни по ОДЗ. $x=6$ не удовлетворяет условию $x \neq 6$, поэтому является посторонним корнем. $x=-6$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-6$.