Номер 3, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения - номер 3, страница 58.

Условие.

3. Запишите уравнение, равносильное данному.

1) $4x + 3 = 27$ и _________

2) $5 - x = 4 - x$ и _________

3) $\frac{x^2}{x} = 0$ и _________

4) $\frac{x(x - 2)}{x} = 0$ и _________

Решение.

1) Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Найдем корень данного уравнения $4x + 3 = 27$.
Вычтем 3 из обеих частей уравнения, что является равносильным преобразованием:
$4x = 27 - 3$
$4x = 24$
Полученное уравнение $4x = 24$ равносильно исходному. Его корень, как и корень исходного уравнения, равен $x = 6$.
Ответ: $4x = 24$

2) Решим уравнение $5 - x = 4 - x$.
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены - в правую:
$-x + x = 4 - 5$
$0 \cdot x = -1$
Полученное уравнение $0 \cdot x = -1$ не имеет решений, так как при любом значении $x$ его левая часть равна 0, а правая равна -1. Поскольку это уравнение было получено из исходного с помощью равносильных преобразований, исходное уравнение также не имеет корней. Следовательно, уравнение $0 \cdot x = -1$ равносильно данному.
Ответ: $0 \cdot x = -1$

3) Решим уравнение $\frac{x^2}{x} = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x \neq 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 = 0$
Отсюда $x = 0$.
Однако, значение $x=0$ не входит в ОДЗ. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.
Равносильным ему будет любое уравнение, которое также не имеет корней. Например, уравнение $x = x + 1$. Если вычесть $x$ из обеих частей, получим $0=1$, что является неверным равенством, значит, у уравнения $x = x + 1$ нет корней.
Ответ: $x = x + 1$

4) Решим уравнение $\frac{x(x - 2)}{x} = 0$.
ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.
На ОДЗ (при $x \neq 0$) мы можем сократить дробь на $x$. Это равносильное преобразование на области допустимых значений.
$x - 2 = 0$
Решим полученное уравнение:
$x = 2$
Полученный корень $x = 2$ удовлетворяет условию ОДЗ ($2 \neq 0$), следовательно, он является единственным корнем исходного уравнения.
Уравнение $x - 2 = 0$ имеет тот же самый единственный корень $x=2$, поэтому оно равносильно исходному уравнению.
Ответ: $x - 2 = 0$