Номер 10, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений - номер 10, страница 54.

Условие.

10. Представьте в виде рациональной дроби выражение:

1) $\frac{x - \frac{y}{y-1}}{y - \frac{x}{x-1}} = \left(x - \frac{y}{y-1}\right) : \left(y - \frac{x}{x-1}\right) =$

$= \frac{xy - x - y}{y-1} : \frac{}{x-1} = $

2) $\frac{\frac{a-3}{a} + \frac{9}{a-3}}{\frac{a+3}{a} - \frac{3}{a+3}} = $

Решение.

1)

Исходное выражение: $\frac{x - \frac{y}{y-1}}{y - \frac{x}{x-1}}$

Для того чтобы представить данное выражение в виде рациональной дроби, необходимо сначала упростить числитель и знаменатель основной дроби.

1. Упростим числитель: $x - \frac{y}{y-1}$

Приведем к общему знаменателю $(y-1)$:

$x - \frac{y}{y-1} = \frac{x \cdot (y-1)}{y-1} - \frac{y}{y-1} = \frac{x(y-1) - y}{y-1} = \frac{xy-x-y}{y-1}$

2. Упростим знаменатель: $y - \frac{x}{x-1}$

Приведем к общему знаменателю $(x-1)$:

$y - \frac{x}{x-1} = \frac{y \cdot (x-1)}{x-1} - \frac{x}{x-1} = \frac{y(x-1) - x}{x-1} = \frac{xy-y-x}{x-1}$

3. Теперь подставим упрощенные выражения обратно в основную дробь:

$\frac{\frac{xy-x-y}{y-1}}{\frac{xy-y-x}{x-1}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{xy-x-y}{y-1} \div \frac{xy-y-x}{x-1} = \frac{xy-x-y}{y-1} \cdot \frac{x-1}{xy-y-x}$

Выражения $(xy-x-y)$ и $(xy-y-x)$ равны, поэтому их можно сократить:

$\frac{\cancel{xy-x-y}}{y-1} \cdot \frac{x-1}{\cancel{xy-y-x}} = \frac{x-1}{y-1}$

Ответ: $\frac{x-1}{y-1}$

2)

Исходное выражение: $\frac{a-3+\frac{9}{a-3}}{\frac{a+3}{a}-\frac{3}{a+3}}$

Действуем аналогично первому пункту, упрощая числитель и знаменатель по отдельности.

1. Упростим числитель: $a-3+\frac{9}{a-3}$

Приведем к общему знаменателю $(a-3)$:

$a-3+\frac{9}{a-3} = \frac{(a-3)(a-3)}{a-3} + \frac{9}{a-3} = \frac{(a-3)^2+9}{a-3} = \frac{a^2-6a+9+9}{a-3} = \frac{a^2-6a+18}{a-3}$

2. Упростим знаменатель: $\frac{a+3}{a}-\frac{3}{a+3}$

Приведем к общему знаменателю $a(a+3)$:

$\frac{a+3}{a}-\frac{3}{a+3} = \frac{(a+3)(a+3)}{a(a+3)} - \frac{3a}{a(a+3)} = \frac{(a+3)^2-3a}{a(a+3)} = \frac{a^2+6a+9-3a}{a(a+3)} = \frac{a^2+3a+9}{a(a+3)}$

3. Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$\frac{\frac{a^2-6a+18}{a-3}}{\frac{a^2+3a+9}{a(a+3)}}$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{a^2-6a+18}{a-3} \cdot \frac{a(a+3)}{a^2+3a+9}$

Квадратные трехчлены $a^2-6a+18$ и $a^2+3a+9$ не имеют действительных корней, поэтому не раскладываются на линейные множители. Дальнейшие сокращения невозможны. Объединим числители и знаменатели:

$\frac{a(a+3)(a^2-6a+18)}{(a-3)(a^2+3a+9)}$

Можно заметить, что знаменатель является формулой разности кубов: $(a-3)(a^2+3a+9) = a^3-27$.

Ответ: $\frac{a(a+3)(a^2-6a+18)}{(a-3)(a^2+3a+9)}$