Номер 3, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений - номер 3, страница 49.

Условие.

3. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{a+6b}{a^2-6ab} - \frac{1}{a}\right) : \frac{b}{6b-a} = \left(\frac{a+6b}{a(a-6b)} - \frac{1}{a}\right)$

$ = \frac{\quad}{a(a-6b)}$

2) $(a^3-81a) \cdot \left(\frac{1}{a+9} - \frac{1}{a-9}\right) = (a^3-81a) \cdot \frac{\quad}{(a-9)(a+9)}$

Решение.

1)

Исходное выражение:

$(\frac{a+6b}{a^2-6ab} - \frac{1}{a}) : \frac{b}{6b-a}$

Сначала выполним действия в скобках. Для этого разложим на множители знаменатель первой дроби:

$a^2-6ab = a(a-6b)$

Теперь приведем дроби в скобках к общему знаменателю $a(a-6b)$:

$\frac{a+6b}{a(a-6b)} - \frac{1}{a} = \frac{a+6b}{a(a-6b)} - \frac{1 \cdot (a-6b)}{a(a-6b)} = \frac{a+6b - (a-6b)}{a(a-6b)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a+6b-a+6b}{a(a-6b)} = \frac{12b}{a(a-6b)}$

Теперь выполним деление. Заменим деление на дробь умножением на обратную ей дробь:

$\frac{12b}{a(a-6b)} : \frac{b}{6b-a} = \frac{12b}{a(a-6b)} \cdot \frac{6b-a}{b}$

Заметим, что $6b-a = -(a-6b)$. Подставим это в выражение и сократим общие множители:

$\frac{12b}{a(a-6b)} \cdot \frac{-(a-6b)}{b} = \frac{12 \cdot b \cdot (-1) \cdot (a-6b)}{a \cdot (a-6b) \cdot b} = -\frac{12}{a}$

Ответ: $-\frac{12}{a}$

2)

Исходное выражение:

$(a^3-81a) \cdot (\frac{1}{a+9} - \frac{1}{a-9})$

Сначала упростим первый множитель, разложив его на множители. Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a^3-81a = a(a^2-81)$

Выражение $a^2-81$ является разностью квадратов $a^2-9^2$, которую можно разложить по формуле $(x-y)(x+y)$:

$a(a^2-81) = a(a-9)(a+9)$

Теперь упростим выражение во вторых скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(a+9)(a-9)$:

$\frac{1}{a+9} - \frac{1}{a-9} = \frac{1 \cdot (a-9)}{(a+9)(a-9)} - \frac{1 \cdot (a+9)}{(a-9)(a+9)} = \frac{(a-9)-(a+9)}{(a-9)(a+9)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a-9-a-9}{(a-9)(a+9)} = \frac{-18}{(a-9)(a+9)}$

Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:

$a(a-9)(a+9) \cdot \frac{-18}{(a-9)(a+9)}$

Сократим общие множители $(a-9)$ и $(a+9)$ в числителе и знаменателе:

$a \cdot (-18) = -18a$

Ответ: $-18a$