Номер 5, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений - номер 5, страница 50.

Условие.

5. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $\frac{4ab}{a+4b} \cdot \left(\frac{a}{4b} - \frac{4b}{a}\right)$, если $a = \frac{1}{3}$, $b = \frac{5}{6}$;

Решение.

Ответ:

2) $\left(\frac{a}{3b} - \frac{3b}{a}\right) : \left(\frac{1}{3b} - \frac{1}{a}\right)$, если $a = 3\frac{1}{7}$, $b = 1\frac{2}{7}$.

Решение.

Ответ:

Решение.

1)

Сначала упростим данное выражение. Для этого приведем дроби в скобках к общему знаменателю $4ab$:
$ \frac{4ab}{a+4b} \cdot \left(\frac{a}{4b} - \frac{4b}{a}\right) = \frac{4ab}{a+4b} \cdot \left(\frac{a \cdot a}{4b \cdot a} - \frac{4b \cdot 4b}{a \cdot 4b}\right) = \frac{4ab}{a+4b} \cdot \frac{a^2 - 16b^2}{4ab} $

В числителе второй дроби используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$ a^2 - 16b^2 = a^2 - (4b)^2 = (a-4b)(a+4b) $

Подставим полученное выражение обратно и сократим дроби:
$ \frac{4ab}{a+4b} \cdot \frac{(a-4b)(a+4b)}{4ab} = \frac{\cancel{4ab}}{\cancel{a+4b}} \cdot \frac{(a-4b)\cancel{(a+4b)}}{\cancel{4ab}} = a-4b $

Теперь подставим числовые значения $a = \frac{1}{3}$ и $b = \frac{5}{6}$ в упрощенное выражение:
$ a - 4b = \frac{1}{3} - 4 \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{3} - \frac{20}{6} = \frac{1}{3} - \frac{10}{3} = \frac{1-10}{3} = \frac{-9}{3} = -3 $

Ответ: -3

2)

Сначала упростим выражение. Выполним действия в каждой из скобок, приведя дроби к общему знаменателю.
Упростим выражение в первой скобке (общий знаменатель $3ab$):
$ \frac{a}{3b} - \frac{3b}{a} = \frac{a^2 - (3b)^2}{3ab} = \frac{(a-3b)(a+3b)}{3ab} $
Упростим выражение во второй скобке (общий знаменатель $3ab$):
$ \frac{1}{3b} - \frac{1}{a} = \frac{a - 3b}{3ab} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$ \left(\frac{(a-3b)(a+3b)}{3ab}\right) : \left(\frac{a - 3b}{3ab}\right) = \frac{(a-3b)(a+3b)}{3ab} \cdot \frac{3ab}{a - 3b} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($3ab$ и $(a-3b)$), при условии, что $a \ne 3b$ и $ab \ne 0$:
$ \frac{\cancel{(a-3b)}(a+3b)}{\cancel{3ab}} \cdot \frac{\cancel{3ab}}{\cancel{a - 3b}} = a+3b $

Теперь подставим числовые значения. Сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$ a = 3\frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{22}{7} $
$ b = 1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{9}{7} $

Подставим полученные значения в упрощенное выражение:
$ a + 3b = \frac{22}{7} + 3 \cdot \frac{9}{7} = \frac{22}{7} + \frac{27}{7} = \frac{22+27}{7} = \frac{49}{7} = 7 $

Ответ: 7