Номер 4, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений - номер 4, страница 49.

Условие.

4. Докажите, что значение выражения $\frac{3c}{c+2} - \frac{c}{(c+2)^2} : \frac{c}{c^2-4} - \frac{4c+6}{c+2}$ не зависит от значения входящей в него переменной.

Решение.

Преобразуем данное выражение:

$\frac{3c}{c+2} - \frac{c}{(c+2)^2} : \frac{c}{c^2-4} - \frac{4c+6}{c+2} = $

$= \frac{3c}{c+2} - \frac{c}{(c+2)^2} \cdot \frac{(c-2)(c+2)}{c} - \frac{4c+6}{c+2} = $

Решение.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $c$, необходимо это выражение упростить. Выполним действия в соответствии с их приоритетом: сначала деление, затем вычитание.

$ \frac{3c}{c+2} - \frac{c}{(c+2)^2} : \frac{c}{c^2 - 4} - \frac{4c+6}{c+2} $

1. Выполним деление дробей. Для этого заменим операцию деления на умножение, перевернув вторую дробь (делитель). Также разложим выражение $c^2 - 4$ на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$ \frac{c}{(c+2)^2} : \frac{c}{c^2 - 4} = \frac{c}{(c+2)^2} \cdot \frac{c^2 - 4}{c} = \frac{c}{(c+2)(c+2)} \cdot \frac{(c-2)(c+2)}{c} $

Теперь сократим общие множители $c$ и $(c+2)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{c} \cdot (c-2)\cancel{(c+2)}}{\cancel{(c+2)}(c+2) \cdot \cancel{c}} = \frac{c-2}{c+2} $

2. Подставим полученный результат обратно в исходное выражение и выполним вычитание.

$ \frac{3c}{c+2} - \frac{c-2}{c+2} - \frac{4c+6}{c+2} $

Все дроби имеют одинаковый знаменатель $(c+2)$, поэтому мы можем объединить их числители:

$ \frac{3c - (c-2) - (4c+6)}{c+2} = \frac{3c - c + 2 - 4c - 6}{c+2} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(3c - c - 4c) + (2 - 6)}{c+2} = \frac{-2c - 4}{c+2} $

Вынесем общий множитель $-2$ за скобки в числителе и сократим дробь:

$ \frac{-2(c+2)}{c+2} = -2 $

В результате упрощения получилось число -2. Поскольку итоговое значение является константой и не содержит переменную $c$, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от значения $c$.

Ответ: -2.