Номер 8, страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения - номер 8, страница 64.

Условие.

8. Лодка прошла 15 км против течения реки и вернулась обратно, потратив на обратный путь на 30 мин меньше. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна 0,5 км/ч.

Решение.

Пусть скорость лодки в стоячей воде равна x км/ч, тогда её скорость против течения равна $(x - 0,5)$ км/ч, а по течению — $(x + 0,5)$ км/ч.

Против течения лодка плыла $\frac{15}{x - 0,5}$ ч, а по течению —

Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть скорость лодки в стоячей воде равна $x$ км/ч. Тогда её скорость против течения равна $(x - 0,5)$ км/ч, а по течению — $(x + 0,5)$ км/ч. По условию задачи, скорость лодки в стоячей воде должна быть больше скорости течения, то есть $x > 0,5$.

Время, которое лодка затратила на путь против течения, составляет $t_{против} = \frac{15}{x - 0,5}$ часа.

Время, которое лодка затратила на обратный путь по течению, составляет $t_{по} = \frac{15}{x + 0,5}$ часа.

По условию, на обратный путь было потрачено на 30 минут меньше. Переведем минуты в часы: 30 мин = 0,5 ч. Составим уравнение, исходя из того, что разница во времени составляет 0,5 часа:

$t_{против} - t_{по} = 0,5$

$\frac{15}{x - 0,5} - \frac{15}{x + 0,5} = 0,5$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x - 0,5)(x + 0,5) = x^2 - 0,25$:

$\frac{15(x + 0,5) - 15(x - 0,5)}{(x - 0,5)(x + 0,5)} = 0,5$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{15x + 7,5 - 15x + 7,5}{x^2 - 0,25} = 0,5$

$\frac{15}{x^2 - 0,25} = 0,5$

Теперь решим полученное уравнение:

$15 = 0,5 \cdot (x^2 - 0,25)$

Разделим обе части уравнения на 0,5:

$30 = x^2 - 0,25$

$x^2 = 30 + 0,25$

$x^2 = 30,25$

Найдем корни уравнения:

$x = \pm\sqrt{30,25}$

$x_1 = 5,5$

$x_2 = -5,5$

Так как скорость лодки не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -5,5$ не удовлетворяет условию задачи. Корень $x_1 = 5,5$ удовлетворяет условию $x > 0,5$.

Следовательно, скорость лодки в стоячей воде составляет 5,5 км/ч.

Ответ: 5,5 км/ч.