Номер 7, страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения - номер 7, страница 64.

Условие.

7. Числитель обыкновенной дроби на 6 меньше её знаменателя. Если числитель увеличить на 17, а знаменатель уменьшить на 1, то получим число, обратное данной дроби. Найдите данную дробь.

Решение. Ответ:

Решение.

Решение.

Пусть знаменатель искомой обыкновенной дроби равен $x$.

По условию задачи, числитель этой дроби на 6 меньше её знаменателя, следовательно, числитель равен $x-6$.

Таким образом, первоначальная дробь имеет вид $\frac{x-6}{x}$.

Далее, если числитель увеличить на 17, он станет равен $(x-6) + 17 = x+11$.

А если знаменатель уменьшить на 1, он станет равен $x-1$.

В результате этих изменений получится новая дробь $\frac{x+11}{x-1}$.

По условию, эта новая дробь равна числу, обратному данной дроби. Число, обратное дроби $\frac{x-6}{x}$, это $\frac{x}{x-6}$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв новую дробь к обратному числу исходной дроби:

$\frac{x+11}{x-1} = \frac{x}{x-6}$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних. Также необходимо учесть, что знаменатели дробей не могут быть равны нулю, то есть $x \neq 1$ и $x \neq 6$.

$(x+11)(x-6) = x(x-1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 - 6x + 11x - 66 = x^2 - x$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 5x - 66 = x^2 - x$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$5x - 66 = -x$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$5x + x = 66$

$6x = 66$

Найдем $x$:

$x = \frac{66}{6}$

$x = 11$

Итак, мы нашли знаменатель исходной дроби. Он равен 11.

Теперь найдем числитель, который на 6 меньше знаменателя:

$11 - 6 = 5$

Следовательно, искомая дробь — это $\frac{5}{11}$.

Ответ:

$\frac{5}{11}$