Номер 4, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем - номер 4, страница 70.

Условие.

4. Заполните таблицу:

Число: 1, 5, 25, 125, 625, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{25}$, $\frac{1}{125}$, $\frac{1}{625}$

Данное число в виде степени с основанием 5

Данное число в виде степени с основанием $\frac{1}{5}$

Решение.

Данное число в виде степени с основанием 5

Для того чтобы представить числа из верхней строки таблицы в виде степени с основанием 5, необходимо для каждого числа $N$ найти такой показатель степени $x$, чтобы выполнялось равенство $5^x = N$.

1. Для числа $1$: ищем $x$ в уравнении $5^x = 1$. По определению, любое ненулевое число в нулевой степени равно единице, поэтому $x=0$. Результат: $5^0$.

2. Для числа $5$: ищем $x$ в уравнении $5^x = 5$. Любое число в первой степени равно самому себе, поэтому $x=1$. Результат: $5^1$.

3. Для числа $25$: ищем $x$ в уравнении $5^x = 25$. Так как $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$, то $x=2$. Результат: $5^2$.

4. Для числа $125$: ищем $x$ в уравнении $5^x = 125$. Так как $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$, то $x=3$. Результат: $5^3$.

5. Для числа $625$: ищем $x$ в уравнении $5^x = 625$. Так как $625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$, то $x=4$. Результат: $5^4$.

6. Для числа $\frac{1}{5}$: ищем $x$ в уравнении $5^x = \frac{1}{5}$. Согласно свойству степени с отрицательным показателем, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем $\frac{1}{5} = \frac{1}{5^1} = 5^{-1}$. Следовательно, $x=-1$. Результат: $5^{-1}$.

7. Для числа $\frac{1}{25}$: ищем $x$ в уравнении $5^x = \frac{1}{25}$. Так как $25 = 5^2$, то $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$. Следовательно, $x=-2$. Результат: $5^{-2}$.

8. Для числа $\frac{1}{125}$: ищем $x$ в уравнении $5^x = \frac{1}{125}$. Так как $125 = 5^3$, то $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$. Следовательно, $x=-3$. Результат: $5^{-3}$.

9. Для числа $\frac{1}{625}$: ищем $x$ в уравнении $5^x = \frac{1}{625}$. Так как $625 = 5^4$, то $\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}$. Следовательно, $x=-4$. Результат: $5^{-4}$.

Ответ: $5^0, 5^1, 5^2, 5^3, 5^4, 5^{-1}, 5^{-2}, 5^{-3}, 5^{-4}$.

Данное число в виде степени с основанием $\frac{1}{5}$

Для того чтобы представить числа из верхней строки таблицы в виде степени с основанием $\frac{1}{5}$, необходимо для каждого числа $N$ найти такой показатель степени $y$, чтобы выполнялось равенство $(\frac{1}{5})^y = N$.

1. Для числа $1$: ищем $y$ в уравнении $(\frac{1}{5})^y = 1$. Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице, поэтому $y=0$. Результат: $(\frac{1}{5})^0$.

2. Для числа $5$: ищем $y$ в уравнении $(\frac{1}{5})^y = 5$. Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем $5 = \frac{5}{1} = (\frac{1}{5})^{-1}$. Следовательно, $y=-1$. Результат: $(\frac{1}{5})^{-1}$.

3. Для числа $25$: ищем $y$ в уравнении $(\frac{1}{5})^y = 25$. Так как $25=5^2$, а $5 = (\frac{1}{5})^{-1}$, то $25 = ((\frac{1}{5})^{-1})^2 = (\frac{1}{5})^{-1 \cdot 2} = (\frac{1}{5})^{-2}$. Следовательно, $y=-2$. Результат: $(\frac{1}{5})^{-2}$.

4. Для числа $125$: ищем $y$ в уравнении $(\frac{1}{5})^y = 125$. Так как $125=5^3$, то $125 = ((\frac{1}{5})^{-1})^3 = (\frac{1}{5})^{-3}$. Следовательно, $y=-3$. Результат: $(\frac{1}{5})^{-3}$.

5. Для числа $625$: ищем $y$ в уравнении $(\frac{1}{5})^y = 625$. Так как $625=5^4$, то $625 = ((\frac{1}{5})^{-1})^4 = (\frac{1}{5})^{-4}$. Следовательно, $y=-4$. Результат: $(\frac{1}{5})^{-4}$.

6. Для числа $\frac{1}{5}$: ищем $y$ в уравнении $(\frac{1}{5})^y = \frac{1}{5}$. Любое число в первой степени равно самому себе, поэтому $y=1$. Результат: $(\frac{1}{5})^1$.

7. Для числа $\frac{1}{25}$: ищем $y$ в уравнении $(\frac{1}{5})^y = \frac{1}{25}$. Так как $\frac{1}{25} = \frac{1^2}{5^2} = (\frac{1}{5})^2$, то $y=2$. Результат: $(\frac{1}{5})^2$.

8. Для числа $\frac{1}{125}$: ищем $y$ в уравнении $(\frac{1}{5})^y = \frac{1}{125}$. Так как $\frac{1}{125} = \frac{1^3}{5^3} = (\frac{1}{5})^3$, то $y=3$. Результат: $(\frac{1}{5})^3$.

9. Для числа $\frac{1}{625}$: ищем $y$ в уравнении $(\frac{1}{5})^y = \frac{1}{625}$. Так как $\frac{1}{625} = \frac{1^4}{5^4} = (\frac{1}{5})^4$, то $y=4$. Результат: $(\frac{1}{5})^4$.

Ответ: $(\frac{1}{5})^0, (\frac{1}{5})^{-1}, (\frac{1}{5})^{-2}, (\frac{1}{5})^{-3}, (\frac{1}{5})^{-4}, (\frac{1}{5})^1, (\frac{1}{5})^2, (\frac{1}{5})^3, (\frac{1}{5})^4$.