Номер 12, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень - номер 12, страница 44.

Условие.

12. Упростите выражение:

1) $\frac{3m-12}{mn-n^2+m-n} : \frac{mn+2m-4n-8}{m^2-n^2}=$

$= \frac{3( )}{n( )+( )} : \frac{m( )-4( )}{ \quad } =$

2) $\frac{p^2-25k^2}{p^2-pk+p-k} \cdot \frac{p^2-5pk+p-5k}{pk^2-p^2k}=$

$= \frac{ \quad }{p(p-k)+( )} \cdot \frac{p(p-5k)+( )}{ \quad } =$

3) $\frac{a^2-b^2+a-b}{a^2-b^2+a+b} \cdot \frac{5a-5b}{4a+4b}=$

Решение.

1)

Упростим выражение $\frac{3m - 12}{mn - n^2 + m - n} : \frac{mn + 2m - 4n - 8}{m^2 - n^2}$.

Для начала, разложим на множители числитель и знаменатель каждой дроби.

Первая дробь:

• Числитель: $3m - 12 = 3(m - 4)$
• Знаменатель: $mn - n^2 + m - n = n(m - n) + 1(m - n) = (m - n)(n + 1)$

Вторая дробь:

• Числитель: $mn + 2m - 4n - 8 = m(n + 2) - 4(n + 2) = (m - 4)(n + 2)$
• Знаменатель: $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$ (формула разности квадратов)

Теперь подставим разложенные многочлены в исходное выражение. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{3(m - 4)}{(m - n)(n + 1)} : \frac{(m - 4)(n + 2)}{(m - n)(m + n)} = \frac{3(m - 4)}{(m - n)(n + 1)} \cdot \frac{(m - n)(m + n)}{(m - 4)(n + 2)}$

Сократим общие множители $(m-4)$ и $(m-n)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{3\cancel{(m - 4)}}{\cancel{(m - n)}(n + 1)} \cdot \frac{\cancel{(m - n)}(m + n)}{\cancel{(m - 4)}(n + 2)} = \frac{3(m + n)}{(n + 1)(n + 2)}$

Ответ: $\frac{3(m + n)}{(n + 1)(n + 2)}$

2)

Упростим выражение $\frac{p^2 - 25k^2}{p^2 - pk + p - k} \cdot \frac{p^2 - 5pk + p - 5k}{pk^2 - p^2k}$.

Разложим на множители числители и знаменатели дробей.

• $p^2 - 25k^2 = (p - 5k)(p + 5k)$ (разность квадратов)
• $p^2 - pk + p - k = p(p - k) + 1(p - k) = (p + 1)(p - k)$ (метод группировки)
• $p^2 - 5pk + p - 5k = p(p - 5k) + 1(p - 5k) = (p + 1)(p - 5k)$ (метод группировки)
• $pk^2 - p^2k = pk(k - p) = -pk(p - k)$ (вынесение общего множителя)

Подставим полученные выражения:

$\frac{(p - 5k)(p + 5k)}{(p + 1)(p - k)} \cdot \frac{(p + 1)(p - 5k)}{-pk(p - k)}$

Сократим общий множитель $(p+1)$:

$\frac{(p - 5k)(p + 5k)}{\cancel{(p + 1)}(p - k)} \cdot \frac{\cancel{(p + 1)}(p - 5k)}{-pk(p - k)} = \frac{(p - 5k)(p + 5k)(p - 5k)}{-pk(p - k)(p - k)}$

Сгруппируем одинаковые множители, чтобы записать ответ в более компактном виде:

$\frac{(p - 5k)^2(p + 5k)}{-pk(p - k)^2} = -\frac{(p - 5k)^2(p + 5k)}{pk(p - k)^2}$

Ответ: $-\frac{(p - 5k)^2(p + 5k)}{pk(p - k)^2}$

3)

Упростим выражение $\frac{a^2 - b^2 + a - b}{a^2 - b^2 + a + b} \cdot \frac{5a - 5b}{4a + 4b}$.

Разложим на множители числители и знаменатели.

• $a^2 - b^2 + a - b = (a^2 - b^2) + (a - b) = (a - b)(a + b) + 1(a - b) = (a - b)(a + b + 1)$
• $a^2 - b^2 + a + b = (a^2 - b^2) + (a + b) = (a - b)(a + b) + 1(a + b) = (a + b)(a - b + 1)$
• $5a - 5b = 5(a - b)$
• $4a + 4b = 4(a + b)$

Подставим разложения в исходное выражение:

$\frac{(a - b)(a + b + 1)}{(a + b)(a - b + 1)} \cdot \frac{5(a - b)}{4(a + b)}$

Теперь выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели:

$\frac{(a - b)(a + b + 1) \cdot 5(a - b)}{(a + b)(a - b + 1) \cdot 4(a + b)}$

Сгруппируем одинаковые множители:

$\frac{5(a - b)^2(a + b + 1)}{4(a + b)^2(a - b + 1)}$

В данном выражении дальнейшие сокращения невозможны.

Ответ: $\frac{5(a - b)^2(a + b + 1)}{4(a + b)^2(a - b + 1)}$