Номер 10, страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями - номер 10, страница 34.

Условие.

10. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $\frac{a+10}{a} - \frac{a}{a-10} + \frac{5a+50}{a^2-10a}$, если $a = -\frac{1}{4}$;

Решение.

Ответ:

2) $\frac{7a-1}{7a} - \frac{7a}{7a-1} - \frac{1}{7a-49a^2}$, если $a = 3\frac{4}{7}$.

Решение.

Ответ:

Решение.

1) Упростим выражение $\frac{a+10}{a} - \frac{a}{a-10} + \frac{5a+50}{a^2-10a}$.

Сначала разложим на множители знаменатель третьей дроби: $a^2-10a = a(a-10)$. Также вынесем общий множитель в числителе третьей дроби: $5a+50 = 5(a+10)$.

Выражение примет вид:

$\frac{a+10}{a} - \frac{a}{a-10} + \frac{5(a+10)}{a(a-10)}$

Общий знаменатель для всех дробей — $a(a-10)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(a+10)(a-10)}{a(a-10)} - \frac{a \cdot a}{a(a-10)} + \frac{5(a+10)}{a(a-10)}$

Теперь выполним операции в числителе:

$\frac{(a^2-100) - a^2 + (5a+50)}{a(a-10)} = \frac{a^2-100 - a^2 + 5a + 50}{a(a-10)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(a^2-a^2) + 5a + (50-100)}{a(a-10)} = \frac{5a - 50}{a(a-10)}$

Вынесем общий множитель 5 в числителе:

$\frac{5(a-10)}{a(a-10)}$

Сократим дробь на $(a-10)$, при условии что $a \neq 10$:

$\frac{5}{a}$

Теперь найдем значение выражения при $a = -\frac{1}{4}$:

$\frac{5}{-\frac{1}{4}} = 5 \div (-\frac{1}{4}) = 5 \cdot (-4) = -20$

Ответ: -20

2) Упростим выражение $\frac{7a-1}{7a} - \frac{7a}{7a-1} - \frac{1}{7a-49a^2}$.

Разложим на множители знаменатель третьей дроби: $7a-49a^2 = 7a(1-7a) = -7a(7a-1)$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{7a-1}{7a} - \frac{7a}{7a-1} - \frac{1}{-7a(7a-1)}$

Знак "минус" перед третьей дробью и в ее знаменателе можно заменить на "плюс":

$\frac{7a-1}{7a} - \frac{7a}{7a-1} + \frac{1}{7a(7a-1)}$

Общий знаменатель для дробей — $7a(7a-1)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(7a-1)(7a-1)}{7a(7a-1)} - \frac{7a \cdot 7a}{7a(7a-1)} + \frac{1}{7a(7a-1)}$

Запишем все под одной чертой дроби:

$\frac{(7a-1)^2 - (7a)^2 + 1}{7a(7a-1)}$

Раскроем скобки в числителе. $(7a-1)^2 = 49a^2 - 14a + 1$.

$\frac{49a^2 - 14a + 1 - 49a^2 + 1}{7a(7a-1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(49a^2 - 49a^2) - 14a + (1+1)}{7a(7a-1)} = \frac{-14a + 2}{7a(7a-1)}$

Вынесем общий множитель -2 в числителе:

$\frac{-2(7a-1)}{7a(7a-1)}$

Сократим дробь на $(7a-1)$, при условии что $7a-1 \neq 0$:

$\frac{-2}{7a}$

Теперь найдем значение выражения при $a = 3\frac{4}{7}$.

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:

$a = 3\frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{25}{7}$

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$\frac{-2}{7a} = \frac{-2}{7 \cdot \frac{25}{7}} = \frac{-2}{25}$

Ответ: $-\frac{2}{25}$