Номер 7, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями - номер 7, страница 32.

Условие.

7. Установите, зависит ли от значений переменных x и y значение выражения

$\frac{3y}{4x} - \frac{16x^2 + 9y^2}{12xy} - \frac{3y - 16x}{12y}$.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Чтобы установить, зависит ли значение выражения от переменных $x$ и $y$, нужно это выражение упростить. Если в результате упрощения получится число, то значение выражения не зависит от переменных. Если же в результате останутся переменные, то зависит.

Рассмотрим выражение: $\frac{3y}{4x} - \frac{16x^2 + 9y^2}{12xy} - \frac{3y - 16x}{12y}$.

1. Приведем все дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $4x$, $12xy$ и $12y$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих выражений — $12xy$.

2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель каждой дроби:

• Для первой дроби $\frac{3y}{4x}$ дополнительный множитель: $12xy \div 4x = 3y$.
• Для второй дроби $\frac{16x^2 + 9y^2}{12xy}$ знаменатель уже равен общему, поэтому дополнительный множитель — 1.
• Для третьей дроби $\frac{3y - 16x}{12y}$ дополнительный множитель: $12xy \div 12y = x$.

3. Умножим числители на соответствующие дополнительные множители и запишем все под общим знаменателем:

$\frac{3y \cdot 3y}{12xy} - \frac{16x^2 + 9y^2}{12xy} - \frac{(3y - 16x) \cdot x}{12xy} = \frac{9y^2 - (16x^2 + 9y^2) - (3xy - 16x^2)}{12xy}$

4. Раскроем скобки в числителе. Важно правильно учесть знаки минус перед скобками:

$\frac{9y^2 - 16x^2 - 9y^2 - 3xy + 16x^2}{12xy}$

5. Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(9y^2 - 9y^2) + (-16x^2 + 16x^2) - 3xy = 0 + 0 - 3xy = -3xy$.

6. Подставим полученный результат в числитель дроби:

$\frac{-3xy}{12xy}$

7. Сократим полученную дробь на общий множитель $3xy$ (при условии, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$, что следует из области допустимых значений исходного выражения):

$\frac{-3xy}{12xy} = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$.

В результате упрощения мы получили число $-\frac{1}{4}$, которое не зависит от значений переменных $x$ и $y$.

Ответ: Значение выражения не зависит от значений переменных $x$ и $y$.