Номер 2, страница 29, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями - номер 2, страница 29.

Условие.

2. Упростите выражение:

1) $\frac{a+6}{18} + \frac{a-3}{9} = \frac{a+6+}{18} =$

2) $\frac{4n-1}{n} - \frac{4m-2}{m} = \frac{m(4n-1)-}{mn} =$

3) $\frac{6-c}{4p} + \frac{c-3}{6n} =$

4) $\frac{3b+2}{ab^2} - \frac{3a-5}{a^2b} = \frac{}{a^2b^2} =$

5) $\frac{1}{c^3} - \frac{8+c^3}{c^6} =$

6) $\frac{5}{m} + \frac{7m-5}{m-2} = \frac{}{m(m-2)} =$

7) $\frac{9}{x} - \frac{9}{x+2} =$

8) $\frac{b}{b-5} - \frac{5}{b+5} = \frac{}{(b-5)(b+5)} =$

9) $\frac{y}{y+1} + \frac{4}{2y+1} =$

Решение.

1)

$\frac{a+6}{18} + \frac{a-3}{9}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $18$ и $9$ — это $18$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $2$:
$\frac{a+6}{18} + \frac{(a-3) \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{a+6}{18} + \frac{2a-6}{18}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:
$\frac{(a+6) + (2a-6)}{18} = \frac{a+6+2a-6}{18}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{3a}{18}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на $3$:
$\frac{a}{6}$

Ответ: $\frac{a}{6}$

2)

$\frac{4n-1}{n} - \frac{4m-2}{m}$
Общий знаменатель для дробей со знаменателями $n$ и $m$ — это $mn$. Домножим первую дробь на $m$, а вторую на $n$:
$\frac{(4n-1) \cdot m}{n \cdot m} - \frac{(4m-2) \cdot n}{m \cdot n} = \frac{4mn-m}{mn} - \frac{4mn-2n}{mn}$
Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{(4mn-m) - (4mn-2n)}{mn} = \frac{4mn-m-4mn+2n}{mn}$
Упростим числитель:
$\frac{2n-m}{mn}$

Ответ: $\frac{2n-m}{mn}$

3)

$\frac{6-c}{4p} + \frac{c-3}{6n}$
Найдем наименьший общий знаменатель для $4p$ и $6n$. Наименьшее общее кратное для чисел $4$ и $6$ равно $12$. Значит, общий знаменатель равен $12pn$.
Домножим первую дробь на $3n$, а вторую на $2p$:
$\frac{(6-c) \cdot 3n}{4p \cdot 3n} + \frac{(c-3) \cdot 2p}{6n \cdot 2p} = \frac{18n-3cn}{12pn} + \frac{2cp-6p}{12pn}$
Сложим числители:
$\frac{18n-3cn+2cp-6p}{12pn}$

Ответ: $\frac{18n-3cn+2cp-6p}{12pn}$

4)

$\frac{3b+2}{ab^2} - \frac{3a-5}{a^2b}$
Общий знаменатель для $ab^2$ и $a^2b$ — это $a^2b^2$. Домножим первую дробь на $a$, а вторую на $b$:
$\frac{(3b+2) \cdot a}{ab^2 \cdot a} - \frac{(3a-5) \cdot b}{a^2b \cdot b} = \frac{3ab+2a}{a^2b^2} - \frac{3ab-5b}{a^2b^2}$
Вычтем числители:
$\frac{(3ab+2a) - (3ab-5b)}{a^2b^2} = \frac{3ab+2a-3ab+5b}{a^2b^2}$
Упростим числитель:
$\frac{2a+5b}{a^2b^2}$

Ответ: $\frac{2a+5b}{a^2b^2}$

5)

$\frac{1}{c^3} - \frac{8+c^3}{c^6}$
Общий знаменатель для $c^3$ и $c^6$ — это $c^6$. Домножим первую дробь на $c^3$:
$\frac{1 \cdot c^3}{c^3 \cdot c^3} - \frac{8+c^3}{c^6} = \frac{c^3}{c^6} - \frac{8+c^3}{c^6}$
Вычтем числители:
$\frac{c^3 - (8+c^3)}{c^6} = \frac{c^3-8-c^3}{c^6}$
Упростим числитель:
$\frac{-8}{c^6} = -\frac{8}{c^6}$

Ответ: $-\frac{8}{c^6}$

6)

$\frac{5}{m} + \frac{7m-5}{m-2}$
Общий знаменатель для $m$ и $m-2$ — это $m(m-2)$. Домножим первую дробь на $(m-2)$, а вторую на $m$:
$\frac{5(m-2)}{m(m-2)} + \frac{m(7m-5)}{m(m-2)} = \frac{5m-10}{m(m-2)} + \frac{7m^2-5m}{m(m-2)}$
Сложим числители:
$\frac{5m-10+7m^2-5m}{m(m-2)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{7m^2-10}{m(m-2)}$

Ответ: $\frac{7m^2-10}{m(m-2)}$

7)

$\frac{9}{x} - \frac{9}{x+2}$
Общий знаменатель для $x$ и $x+2$ — это $x(x+2)$. Домножим первую дробь на $(x+2)$, а вторую на $x$:
$\frac{9(x+2)}{x(x+2)} - \frac{9x}{x(x+2)} = \frac{9x+18}{x(x+2)} - \frac{9x}{x(x+2)}$
Вычтем числители:
$\frac{(9x+18) - 9x}{x(x+2)} = \frac{9x+18-9x}{x(x+2)}$
Упростим числитель:
$\frac{18}{x(x+2)}$

Ответ: $\frac{18}{x(x+2)}$

8)

$\frac{b}{b-5} - \frac{5}{b+5}$
Общий знаменатель для $b-5$ и $b+5$ — это $(b-5)(b+5)$. Домножим первую дробь на $(b+5)$, а вторую на $(b-5)$:
$\frac{b(b+5)}{(b-5)(b+5)} - \frac{5(b-5)}{(b+5)(b-5)} = \frac{b^2+5b}{(b-5)(b+5)} - \frac{5b-25}{(b-5)(b+5)}$
Вычтем числители:
$\frac{(b^2+5b) - (5b-25)}{(b-5)(b+5)} = \frac{b^2+5b-5b+25}{(b-5)(b+5)}$
Упростим числитель. Знаменатель можно оставить в виде произведения или раскрыть по формуле разности квадратов:
$\frac{b^2+25}{b^2-25}$

Ответ: $\frac{b^2+25}{b^2-25}$

9)

$\frac{y}{y+1} + \frac{4}{2y+1}$
Общий знаменатель для $y+1$ и $2y+1$ — это $(y+1)(2y+1)$. Домножим первую дробь на $(2y+1)$, а вторую на $(y+1)$:
$\frac{y(2y+1)}{(y+1)(2y+1)} + \frac{4(y+1)}{(2y+1)(y+1)} = \frac{2y^2+y}{(y+1)(2y+1)} + \frac{4y+4}{(y+1)(2y+1)}$
Сложим числители:
$\frac{2y^2+y+4y+4}{(y+1)(2y+1)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{2y^2+5y+4}{(y+1)(2y+1)}$

Ответ: $\frac{2y^2+5y+4}{(y+1)(2y+1)}$