Номер 4, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями - номер 4, страница 30.

Условие.

4. Выполните действия:

1) $\frac{7m+n}{m^2-n^2} + \frac{1}{m+n} = \frac{7m+n}{(m+n)(m-n)} + \frac{1}{m+n} =$

2) $\frac{4}{x^2-4y^2} - \frac{1}{xy-2y^2} =$

3) $\frac{b}{b+9} - \frac{b^2}{b^2+18b+81} = \frac{b}{b+9} - \frac{b^2}{(b+9)^2} = \frac{}{(b+9)^2} =$

4) $\frac{16y^2}{9x^2-24xy+16y^2} \div \frac{4y}{3x-4y} =$

Решение.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{7m + n}{m^2 - n^2} + \frac{1}{m+n}$, приведем их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$.
Выражение примет вид: $\frac{7m + n}{(m-n)(m+n)} + \frac{1}{m+n}$.
Общий знаменатель для этих дробей – $(m-n)(m+n)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $(m-n)$:
$\frac{7m + n}{(m-n)(m+n)} + \frac{1 \cdot (m-n)}{(m+n)(m-n)} = \frac{7m + n + m - n}{(m-n)(m+n)}$
Теперь сложим числители и приведем подобные слагаемые:
$\frac{8m}{(m-n)(m+n)} = \frac{8m}{m^2-n^2}$
Ответ: $\frac{8m}{m^2-n^2}$.

2) В выражении $\frac{4}{x^2 - 4y^2} - \frac{1}{xy - 2y^2}$ разложим знаменатели на множители.
$x^2 - 4y^2 = (x-2y)(x+2y)$ (разность квадратов).
$xy - 2y^2 = y(x - 2y)$ (вынесение общего множителя).
Получаем: $\frac{4}{(x-2y)(x+2y)} - \frac{1}{y(x - 2y)}$.
Общий знаменатель: $y(x-2y)(x+2y)$. Домножим первую дробь на $y$, а вторую на $(x+2y)$:
$\frac{4 \cdot y}{y(x-2y)(x+2y)} - \frac{1 \cdot (x+2y)}{y(x-2y)(x+2y)} = \frac{4y - (x+2y)}{y(x-2y)(x+2y)}$
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$\frac{4y - x - 2y}{y(x-2y)(x+2y)} = \frac{2y - x}{y(x-2y)(x+2y)}$
Вынесем в числителе $-1$ за скобку, чтобы можно было сократить: $\frac{-(x-2y)}{y(x-2y)(x+2y)}$.
Сокращаем на $(x-2y)$:
$\frac{-1}{y(x+2y)}$
Ответ: $\frac{-1}{y(x+2y)}$.

3) В выражении $\frac{b}{b+9} - \frac{b^2}{b^2 + 18b + 81}$ заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом: $b^2 + 18b + 81 = (b+9)^2$.
Получаем: $\frac{b}{b+9} - \frac{b^2}{(b+9)^2}$.
Общий знаменатель – $(b+9)^2$. Домножим первую дробь на $(b+9)$:
$\frac{b(b+9)}{(b+9)^2} - \frac{b^2}{(b+9)^2} = \frac{b^2 + 9b - b^2}{(b+9)^2}$
Упростим числитель:
$\frac{9b}{(b+9)^2}$
Ответ: $\frac{9b}{(b+9)^2}$.

4) Чтобы выполнить деление дробей $\frac{16y^2}{9x^2 - 24xy + 16y^2} \div \frac{4y}{3x-4y}$, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:
$\frac{16y^2}{9x^2 - 24xy + 16y^2} \cdot \frac{3x-4y}{4y}$
Разложим знаменатель первой дроби на множители. Это полный квадрат разности: $9x^2 - 24xy + 16y^2 = (3x-4y)^2$.
Выражение примет вид:
$\frac{16y^2}{(3x-4y)^2} \cdot \frac{3x-4y}{4y}$
Теперь выполним сокращение. Сокращаем $16y^2$ и $4y$, в числителе остается $4y$. Сокращаем $(3x-4y)$ в числителе и $(3x-4y)^2$ в знаменателе, в знаменателе остается $(3x-4y)$.
$\frac{4y}{3x-4y}$
Ответ: $\frac{4y}{3x-4y}$.