Номер 6, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями - номер 6, страница 24.

Условие.

6. Упростите выражение:

1) $ \frac{4a - 9}{14a} - \frac{8a + 3}{14a} - \frac{3a - 12}{14a} = $

2) $ \frac{9y^2 + 6}{4y - 4} - \frac{7y^2 + 13}{4y - 4} - \frac{6y^2 - 1}{4 - 4y} = $

Решение.

1)

Исходное выражение: $\frac{4a - 9}{14a} - \frac{8a + 3}{14a} - \frac{3a - 12}{14a}$

Так как все три дроби имеют одинаковый знаменатель $14a$, мы можем объединить их, выполнив действия с числителями:

$\frac{(4a - 9) - (8a + 3) - (3a - 12)}{14a}$

Теперь раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак "минус" перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри этой скобки на противоположные:

$\frac{4a - 9 - 8a - 3 - 3a + 12}{14a}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в числителе:

$(4a - 8a - 3a) + (-9 - 3 + 12) = -7a + 0 = -7a$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{-7a}{14a}$

Сократим полученную дробь. Общий множитель для числителя и знаменателя - это $7a$. (Предполагается, что $a \neq 0$):

$\frac{-7a}{14a} = \frac{-1 \cdot 7a}{2 \cdot 7a} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

2)

Исходное выражение: $\frac{9y^2 + 6}{4y - 4} - \frac{7y^2 + 13}{4y - 4} - \frac{6y^2 - 1}{4 - 4y}$

Обратим внимание на знаменатели дробей. Знаменатель третьей дроби $4 - 4y$ можно представить как $-(4y - 4)$. Это позволяет привести все дроби к общему знаменателю $4y - 4$.

Преобразуем третью дробь:

$ - \frac{6y^2 - 1}{4 - 4y} = - \frac{6y^2 - 1}{-(4y - 4)} = + \frac{6y^2 - 1}{4y - 4}$

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\frac{9y^2 + 6}{4y - 4} - \frac{7y^2 + 13}{4y - 4} + \frac{6y^2 - 1}{4y - 4}$

Объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{(9y^2 + 6) - (7y^2 + 13) + (6y^2 - 1)}{4y - 4}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{9y^2 + 6 - 7y^2 - 13 + 6y^2 - 1}{4y - 4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(9y^2 - 7y^2 + 6y^2) + (6 - 13 - 1) = 8y^2 - 8$

Получаем дробь:

$\frac{8y^2 - 8}{4y - 4}$

Для дальнейшего упрощения разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель 8 и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В знаменателе вынесем общий множитель 4.

Числитель: $8y^2 - 8 = 8(y^2 - 1) = 8(y - 1)(y + 1)$

Знаменатель: $4y - 4 = 4(y - 1)$

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{8(y - 1)(y + 1)}{4(y - 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $4(y - 1)$ (при условии, что $y \neq 1$):

$\frac{8}{4} \cdot \frac{y-1}{y-1} \cdot (y+1) = 2 \cdot 1 \cdot (y+1) = 2(y+1)$

Ответ: $2(y + 1)$