Номер 2, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями - номер 2, страница 21.

Условие.

Решаем задачи

2. Упростите выражение:

1) $\frac{x+3y}{xy} - \frac{2x+3y}{xy} = \frac{x+3y-(2x+3y)}{xy} =$

2) $\frac{a^2+1}{a-1} - \frac{2a}{a-1} =$

3) $\frac{b^2+2b}{b^2-16} + \frac{6b+16}{b^2-16} =$

4) $\frac{3b}{b-c} + \frac{3c}{c-b} = \frac{3b}{b-c} + \frac{3c}{-(b-c)} = \frac{3b}{b-c} - \frac{3c}{b-c} =$

5) $\frac{2m-5n}{m-4n} + \frac{7n-m}{4n-m} =$

6) $\frac{p^3}{(p-2)^2} - \frac{8}{(2-p)^2} =$

Решение.

1) Чтобы упростить выражение $ \frac{x+3y}{xy} - \frac{2x+3y}{xy} $, приведем дроби к общему знаменателю. Так как знаменатели уже одинаковы, выполним вычитание числителей:

$ \frac{x+3y}{xy} - \frac{2x+3y}{xy} = \frac{(x+3y) - (2x+3y)}{xy} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{x+3y - 2x - 3y}{xy} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(x - 2x) + (3y - 3y)}{xy} = \frac{-x}{xy} $

Сократим дробь на $x$:

$ \frac{-1}{y} = -\frac{1}{y} $

Ответ: $ -\frac{1}{y} $

2) Чтобы упростить выражение $ \frac{a^2+1}{a-1} - \frac{2a}{a-1} $, выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{a^2+1-2a}{a-1} $

Запишем числитель в стандартном виде и заметим, что это формула квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $:

$ \frac{a^2-2a+1}{a-1} = \frac{(a-1)^2}{a-1} $

Сократим дробь на $ (a-1) $:

$ a-1 $

Ответ: $ a-1 $

3) Чтобы упростить выражение $ \frac{b^2+2b}{b^2-16} + \frac{6b+16}{b^2-16} $, выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{(b^2+2b) + (6b+16)}{b^2-16} = \frac{b^2+2b+6b+16}{b^2-16} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{b^2+8b+16}{b^2-16} $

Числитель является квадратом суммы $ (b+4)^2 = b^2+8b+16 $. Знаменатель является разностью квадратов $ b^2-16 = (b-4)(b+4) $:

$ \frac{(b+4)^2}{(b-4)(b+4)} $

Сократим дробь на $ (b+4) $:

$ \frac{b+4}{b-4} $

Ответ: $ \frac{b+4}{b-4} $

4) Чтобы упростить выражение $ \frac{3b}{b-c} + \frac{3c}{c-b} $, приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $ c-b = -(b-c) $:

$ \frac{3b}{b-c} + \frac{3c}{-(b-c)} = \frac{3b}{b-c} - \frac{3c}{b-c} $

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{3b-3c}{b-c} $

Вынесем общий множитель $3$ за скобки в числителе:

$ \frac{3(b-c)}{b-c} $

Сократим дробь на $ (b-c) $:

$ 3 $

Ответ: $ 3 $

5) Чтобы упростить выражение $ \frac{2m-5n}{m-4n} + \frac{7n-m}{4n-m} $, приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $ 4n-m = -(m-4n) $:

$ \frac{2m-5n}{m-4n} + \frac{7n-m}{-(m-4n)} = \frac{2m-5n}{m-4n} - \frac{7n-m}{m-4n} $

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{(2m-5n) - (7n-m)}{m-4n} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{2m-5n-7n+m}{m-4n} $

Приведем подобные слагаемые:

$ \frac{(2m+m) + (-5n-7n)}{m-4n} = \frac{3m-12n}{m-4n} $

Вынесем общий множитель $3$ за скобки в числителе:

$ \frac{3(m-4n)}{m-4n} $

Сократим дробь на $ (m-4n) $:

$ 3 $

Ответ: $ 3 $

6) Чтобы упростить выражение $ \frac{p^3}{(p-2)^2} - \frac{8}{(2-p)^2} $, приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $ (2-p)^2 = (-(p-2))^2 = (p-2)^2 $. Знаменатели дробей равны.

$ \frac{p^3}{(p-2)^2} - \frac{8}{(p-2)^2} = \frac{p^3-8}{(p-2)^2} $

В числителе стоит формула разности кубов $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $:

$ p^3-8 = p^3-2^3 = (p-2)(p^2+p\cdot2+2^2) = (p-2)(p^2+2p+4) $

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{(p-2)(p^2+2p+4)}{(p-2)^2} $

Сократим дробь на $ (p-2) $:

$ \frac{p^2+2p+4}{p-2} $

Ответ: $ \frac{p^2+2p+4}{p-2} $