Номер 17, страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби - номер 17, страница 18.

Условие.

17. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^2 + 6x + 9}{x + 3}$;

Решение.

Данная функция определена при всех значениях x, кроме _________ . Имеем:

$\frac{x^2 + 6x + 9}{x + 3} = x + 3 =$

то есть y = _________, где $x \neq$ _________

Следовательно, искомым графиком являются все точки прямой y = _________, за исключением _________

2) $y = \frac{x^2 - 4x}{x - 4} + \frac{x^2 - 5x}{x}$.

Решение.

Решение.

1) $y = \frac{x^2 + 6x + 9}{x + 3}$

Решение.
Найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x + 3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.
Упростим формулу, задающую функцию. Числитель дроби является полным квадратом суммы: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.
Тогда функцию можно записать в виде:
$y = \frac{(x + 3)^2}{x + 3}$.
При условии $x \neq -3$ мы можем сократить дробь:
$y = x + 3$.
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком прямой $y = x + 3$ за исключением одной точки, в которой функция не определена. Это точка, в которой $x = -3$.
Найдём координаты этой "выколотой" точки. Абсцисса $x = -3$. Ординату найдём, подставив это значение в уравнение прямой: $y = -3 + 3 = 0$.
Итак, график нашей функции — это прямая $y = x + 3$ с выколотой точкой $(-3, 0)$.
Для построения прямой найдём координаты двух точек. Например, при $x=0$, $y=3$; при $x=1$, $y=4$. Проводим прямую через точки $(0, 3)$ и $(1, 4)$ и на ней отмечаем выколотую точку $(-3, 0)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 3$ с выколотой точкой $(-3, 0)$.

2) $y = \frac{x^2 - 4x}{x - 4} + \frac{x^2 - 5x}{x}$

Решение.
Найдём область определения функции. Знаменатели обеих дробей не могут быть равны нулю:
$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$
$x \neq 0$
Таким образом, функция определена для всех $x$, кроме $x = 0$ и $x = 4$.
Упростим каждое слагаемое в выражении для функции на её области определения.
Первое слагаемое: $\frac{x^2 - 4x}{x - 4} = \frac{x(x - 4)}{x - 4} = x$ (при $x \neq 4$).
Второе слагаемое: $\frac{x^2 - 5x}{x} = \frac{x(x - 5)}{x} = x - 5$ (при $x \neq 0$).
Теперь сложим упрощенные выражения:
$y = x + (x - 5) = 2x - 5$.
Следовательно, график исходной функции совпадает с графиком прямой $y = 2x - 5$ за исключением двух точек, в которых функция не определена ($x=0$ и $x=4$).
Найдём координаты этих "выколотых" точек, подставляя их абсциссы в уравнение прямой $y = 2x - 5$:
Если $x=0$, то $y = 2(0) - 5 = -5$. Выколотая точка $(0, -5)$.
Если $x=4$, то $y = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3$. Выколотая точка $(4, 3)$.
График нашей функции — это прямая $y = 2x - 5$ с выколотыми точками $(0, -5)$ и $(4, 3)$.
Для построения прямой можно использовать, например, точки $(2, -1)$ и $(3, 1)$. Проводим через них прямую и отмечаем на ней выколотые точки $(0, -5)$ и $(4, 3)$ пустыми кружками.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 2x - 5$ с выколотыми точками $(0, -5)$ и $(4, 3)$.