Номер 5, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями - номер 5, страница 23.

Условие.

5. Докажите тождество:

1) $\frac{a(b + 1)}{a - b} - \frac{b(a + 1)}{a - b} = 1;$

Решение.

Преобразуем левую часть данного равенства:

$\frac{a(b + 1)}{a - b} - \frac{b(a + 1)}{a - b} =$

2) $\frac{13 - 7c}{16c - 24} + \frac{17c - 23}{24 - 16c} = -1,5.$

Решение.

Преобразуем левую часть данного равенства:

$\frac{13 - 7c}{16c - 24} + \frac{17c - 23}{24 - 16c} =$

Решение.

1)

Преобразуем левую часть данного равенства. Так как дроби имеют одинаковый знаменатель $a-b$, выполним вычитание числителей:

$\frac{a(b+1)}{a-b} - \frac{b(a+1)}{a-b} = \frac{a(b+1) - b(a+1)}{a-b}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{ab + a - (ab + b)}{a-b} = \frac{ab + a - ab - b}{a-b}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a-b}{a-b}$

При условии, что знаменатель не равен нулю ($a \neq b$), полученная дробь равна 1:

$\frac{a-b}{a-b} = 1$

Левая часть тождества равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть данного равенства. Заметим, что знаменатель второй дроби является противоположным знаменателю первой дроби: $24 - 16c = -(16c - 24)$. Это позволяет привести дроби к общему знаменателю:

$\frac{13 - 7c}{16c - 24} + \frac{17c - 23}{24 - 16c} = \frac{13 - 7c}{16c - 24} - \frac{17c - 23}{16c - 24}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(13 - 7c) - (17c - 23)}{16c - 24} = \frac{13 - 7c - 17c + 23}{16c - 24} = \frac{36 - 24c}{16c - 24}$

Вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{12(3 - 2c)}{8(2c - 3)}$

Так как $3 - 2c = -(2c - 3)$, заменим выражение в числителе:

$\frac{-12(2c - 3)}{8(2c - 3)}$

При условии, что $2c - 3 \neq 0$ (то есть $c \neq 1,5$), сократим дробь на общий множитель $(2c - 3)$:

$-\frac{12}{8} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Левая часть тождества равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.