Номер 7, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями - номер 7, страница 24.

Условие.

7. Верно ли утверждение: при всех допустимых значениях переменной выражение $\frac{a^2 + 40}{(a-7)^4} - \frac{8a + 4}{(7-a)^4} + \frac{13 - 6a}{(a-7)^4}$ принимает положительные значения?

Решение.

Упростим данное выражение:

$\frac{a^2 + 40}{(a-7)^4} - \frac{8a + 4}{(7-a)^4} + \frac{13 - 6a}{(a-7)^4} =$

Ответ:

Решение.

Сначала определим область допустимых значений переменной a. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$ (a-7)^4 \neq 0 \implies a-7 \neq 0 \implies a \neq 7 $

Таким образом, выражение определено для всех действительных чисел a, кроме $a=7$.

Упростим данное выражение. Обратим внимание, что знаменатели $(a-7)^4$ и $(7-a)^4$ равны, поскольку показатель степени 4 является четным числом:

$ (7-a)^4 = (-(a-7))^4 = (-1)^4 \cdot (a-7)^4 = (a-7)^4 $

Теперь мы можем привести все дроби к общему знаменателю $(a-7)^4$ и объединить числители:

$ \frac{a^2 + 40}{(a-7)^4} - \frac{8a + 4}{(7-a)^4} + \frac{13 - 6a}{(a-7)^4} = \frac{a^2 + 40}{(a-7)^4} - \frac{8a + 4}{(a-7)^4} + \frac{13 - 6a}{(a-7)^4} = \frac{(a^2 + 40) - (8a + 4) + (13 - 6a)}{(a-7)^4} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ a^2 + 40 - 8a - 4 + 13 - 6a = a^2 - (8a + 6a) + (40 - 4 + 13) = a^2 - 14a + 49 $

Заметим, что полученный числитель является полным квадратом разности:

$ a^2 - 14a + 49 = (a-7)^2 $

Подставим это выражение обратно в дробь и сократим ее:

$ \frac{(a-7)^2}{(a-7)^4} = \frac{1}{(a-7)^{4-2}} = \frac{1}{(a-7)^2} $

Проанализируем знак полученного выражения $ \frac{1}{(a-7)^2} $.

Поскольку мы рассматриваем только допустимые значения a, то $a \neq 7$. Это означает, что выражение $(a-7)$ не равно нулю. Квадрат любого действительного, не равного нулю числа всегда положителен. Следовательно, $(a-7)^2 > 0$.

Числитель дроби равен 1 (положительное число), а знаменатель $(a-7)^2$ также всегда положителен. Деление положительного числа на положительное всегда дает в результате положительное число.

Таким образом, выражение $ \frac{1}{(a-7)^2} $ принимает положительные значения при всех допустимых значениях переменной a.

Ответ: утверждение верно.