Номер 14, страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби - номер 14, страница 17.

Условие.

14. Дано выражение $ \frac{3a^3 - 5b^3}{a^3 - a^2b + 2ab^2} $

1) Докажите, что если переменные $a$ и $b$ заменить соответственно выражениями $ma$ и $mb$, где $m$ — любое число, отличное от нуля, то получим выражение, тождественно равное данному.

2) Найдите значение данного выражения при $a = -\frac{2}{17}$, $b = \frac{3}{17}$.

Решение.

1) Выполним указанную замену и сократим получившуюся дробь:

2) Поскольку значение данного выражения при замене значений переменных $a$ и $b$ соответственно значениями выражений $17a$ и $17b$ не изменится, то

Решение.

1) Выполним указанную замену и сократим получившуюся дробь:

Заменим в исходном выражении $ \frac{3a^3 - 5b^3}{a^3 - a^2b + 2ab^2} $ переменные $a$ на $ma$ и $b$ на $mb$, где $m$ — любое число, отличное от нуля ($m \ne 0$).

$ \frac{3(ma)^3 - 5(mb)^3}{(ma)^3 - (ma)^2(mb) + 2(ma)(mb)^2} $

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

$ \frac{3m^3a^3 - 5m^3b^3}{m^3a^3 - m^2a^2mb + 2m^3ab^2} $

Вынесем общий множитель $m^3$ за скобки в числителе и знаменателе:

$ \frac{m^3(3a^3 - 5b^3)}{m^3(a^3 - a^2b + 2ab^2)} $

Поскольку по условию $m \ne 0$, то и $m^3 \ne 0$. Следовательно, мы можем сократить дробь на $m^3$:

$ \frac{3a^3 - 5b^3}{a^3 - a^2b + 2ab^2} $

В результате мы получили выражение, тождественно равное исходному. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Поскольку значение данного выражения при замене значений переменных $a$ и $b$ соответственно значениями выражений $ma$ и $mb$ (где $m \ne 0$) не изменится, то мы можем использовать это свойство для упрощения вычислений.

Даны значения $ a = -\frac{2}{17} $ и $ b = \frac{3}{17} $. Выберем $m = 17$.

Тогда новыми значениями переменных, при которых значение дроби не изменится, будут:

$ a' = m \cdot a = 17 \cdot (-\frac{2}{17}) = -2 $

$ b' = m \cdot b = 17 \cdot (\frac{3}{17}) = 3 $

Теперь подставим эти целочисленные значения $a' = -2$ и $b' = 3$ в исходное выражение:

$ \frac{3a^3 - 5b^3}{a^3 - a^2b + 2ab^2} = \frac{3(-2)^3 - 5(3)^3}{(-2)^3 - (-2)^2(3) + 2(-2)(3)^2} = \frac{3 \cdot (-8) - 5 \cdot 27}{-8 - (4)(3) + 2(-2)(9)} = \frac{-24 - 135}{-8 - 12 - 36} = \frac{-159}{-56} = \frac{159}{56} $

Ответ: $ \frac{159}{56} $