Номер 9, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби - номер 9, страница 14.

Условие.

9. Приведите к общему знаменателю дроби:

1) $\frac{3}{8a^2b^4}$ и $\frac{5}{12a^3b^2}$;

2) $\frac{m}{n-6}$ и $\frac{p}{n^2 - 36}$;

3) $\frac{a+2}{a^2 - ab}$ и $\frac{b-3}{ab - b^2}$;

4) $\frac{2c+3}{c^2 + 6c + 9}$ и $\frac{c-1}{c^2 - 9}$.

Решение.

Решение.

1)

Даны дроби $ \frac{3}{8a^2b^4} $ и $ \frac{5}{12a^3b^2} $.

Для приведения дробей к общему знаменателю необходимо найти наименьший общий знаменатель (НОЗ). Он состоит из наименьшего общего кратного (НОК) числовых коэффициентов и переменных в наивысших степенях.

1. Найдем НОК для коэффициентов 8 и 12. Разложим их на простые множители: $ 8 = 2^3 $, $ 12 = 2^2 \cdot 3 $. НОК(8, 12) = $ 2^3 \cdot 3 = 24 $.

2. Для переменных $a$ и $b$ берем наибольшие степени, встречающиеся в знаменателях: $ a^3 $ и $ b^4 $.

3. Таким образом, наименьший общий знаменатель равен $ 24a^3b^4 $.

4. Найдем дополнительные множители для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель каждой дроби:

Для первой дроби: $ \frac{24a^3b^4}{8a^2b^4} = 3a $.

Для второй дроби: $ \frac{24a^3b^4}{12a^3b^2} = 2b^2 $.

5. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$ \frac{3}{8a^2b^4} = \frac{3 \cdot 3a}{8a^2b^4 \cdot 3a} = \frac{9a}{24a^3b^4} $

$ \frac{5}{12a^3b^2} = \frac{5 \cdot 2b^2}{12a^3b^2 \cdot 2b^2} = \frac{10b^2}{24a^3b^4} $

Ответ: $ \frac{9a}{24a^3b^4} $ и $ \frac{10b^2}{24a^3b^4} $.

2)

Даны дроби $ \frac{m}{n-6} $ и $ \frac{p}{n^2-36} $.

1. Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $ n-6 $ уже представлен в виде множителя. Знаменатель второй дроби $ n^2-36 $ является разностью квадратов, поэтому $ n^2-36 = (n-6)(n+6) $.

2. Наименьший общий знаменатель будет произведением всех уникальных множителей: $ (n-6)(n+6) $.

3. Найдем дополнительные множители:

Для первой дроби: $ \frac{(n-6)(n+6)}{n-6} = n+6 $.

Знаменатель второй дроби уже является общим, поэтому ее дополнительный множитель равен 1.

4. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{m}{n-6} = \frac{m \cdot (n+6)}{(n-6) \cdot (n+6)} = \frac{m(n+6)}{n^2-36} $

Вторая дробь $ \frac{p}{n^2-36} $ остается без изменений.

Ответ: $ \frac{m(n+6)}{n^2-36} $ и $ \frac{p}{n^2-36} $.

3)

Даны дроби $ \frac{a+2}{a^2-ab} $ и $ \frac{b-3}{ab-b^2} $.

1. Разложим знаменатели на множители, вынеся общий множитель за скобки:

$ a^2-ab = a(a-b) $

$ ab-b^2 = b(a-b) $

2. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) должен включать все множители из обоих знаменателей: $ a $, $ b $ и $ (a-b) $. Таким образом, НОЗ = $ ab(a-b) $.

3. Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

Для первой дроби: $ \frac{ab(a-b)}{a(a-b)} = b $.

Для второй дроби: $ \frac{ab(a-b)}{b(a-b)} = a $.

4. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$ \frac{a+2}{a(a-b)} = \frac{(a+2) \cdot b}{a(a-b) \cdot b} = \frac{b(a+2)}{ab(a-b)} $

$ \frac{b-3}{b(a-b)} = \frac{(b-3) \cdot a}{b(a-b) \cdot a} = \frac{a(b-3)}{ab(a-b)} $

Ответ: $ \frac{b(a+2)}{ab(a-b)} $ и $ \frac{a(b-3)}{ab(a-b)} $.

4)

Даны дроби $ \frac{2c+3}{c^2+6c+9} $ и $ \frac{c-1}{c^2-9} $.

1. Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Первый знаменатель является квадратом суммы: $ c^2+6c+9 = c^2+2 \cdot c \cdot 3 + 3^2 = (c+3)^2 $.

Второй знаменатель является разностью квадратов: $ c^2-9 = c^2 - 3^2 = (c-3)(c+3) $.

2. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) должен содержать все множители в наивысшей степени. Множители: $ (c+3) $ и $ (c-3) $. Наибольшая степень для $ (c+3) $ - это 2. Таким образом, НОЗ = $ (c+3)^2(c-3) $.

3. Найдем дополнительные множители:

Для первой дроби: $ \frac{(c+3)^2(c-3)}{(c+3)^2} = c-3 $.

Для второй дроби: $ \frac{(c+3)^2(c-3)}{(c-3)(c+3)} = c+3 $.

4. Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{2c+3}{(c+3)^2} = \frac{(2c+3)(c-3)}{(c+3)^2(c-3)} $

$ \frac{c-1}{(c-3)(c+3)} = \frac{(c-1)(c+3)}{(c-3)(c+3)(c+3)} = \frac{(c-1)(c+3)}{(c+3)^2(c-3)} $

Ответ: $ \frac{(2c+3)(c-3)}{(c+3)^2(c-3)} $ и $ \frac{(c-1)(c+3)}{(c+3)^2(c-3)} $.