Номер 6, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби - номер 6, страница 12.

Условие.

6. Приведите дробь:

1) $\frac{a}{a-4}$ к знаменателю $3a - 12$;

Решение.

Поскольку $3a - 12 = 3(a - 4)$, то новый знаменатель отличается от знаменателя данной дроби множителем 3.

Имеем: $\frac{\overset{\backslash 3}{a}}{a-4} = $

2) $\frac{m}{3m-5n}$ к знаменателю $25n^2 - 15mn$;

Решение.

Поскольку $25n^2 - 15mn = (3m - 5n)$, то имеем:

$\frac{\overset{\backslash}{m}}{3m-5n} = $

3) $\frac{2x}{x-1}$ к знаменателю $x^2 - 2x + 1$;

Решение.

$x^2 - 2x + 1 = $

$\frac{\overset{\backslash}{2x}}{x-1} = $

4) $\frac{1}{7x-8y}$ к знаменателю $64y^2 - 49x^2$.

Решение.

Решение.

1) Чтобы привести дробь $\frac{a}{a-4}$ к знаменателю $3a - 12$, необходимо найти дополнительный множитель. Для этого разложим новый знаменатель на множители: $3a - 12 = 3(a-4)$.

Разделив новый знаменатель на старый, найдем дополнительный множитель: $\frac{3(a-4)}{a-4} = 3$.

Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель:

$\frac{a}{a-4} = \frac{a \cdot 3}{(a-4) \cdot 3} = \frac{3a}{3a-12}$

Ответ: $\frac{3a}{3a-12}$

2) Требуется привести дробь $\frac{m}{3m-5n}$ к знаменателю $25n^2 - 15mn$.

Разложим новый знаменатель на множители, вынеся за скобки общий множитель $5n$: $25n^2 - 15mn = 5n(5n - 3m)$.

Заметим, что знаменатель исходной дроби $(3m - 5n)$ и множитель $(5n - 3m)$ в новом знаменателе являются противоположными выражениями, то есть $3m - 5n = -(5n - 3m)$.

Дополнительный множитель равен частному от деления нового знаменателя на старый: $\frac{5n(5n - 3m)}{3m - 5n} = \frac{5n(5n - 3m)}{-(5n - 3m)} = -5n$.

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $-5n$:

$\frac{m}{3m-5n} = \frac{m \cdot (-5n)}{(3m-5n) \cdot (-5n)} = \frac{-5mn}{-15mn+25n^2} = \frac{-5mn}{25n^2-15mn}$

Ответ: $\frac{-5mn}{25n^2-15mn}$

3) Приведем дробь $\frac{2x}{x-1}$ к знаменателю $x^2 - 2x + 1$.

Новый знаменатель является полным квадратом разности: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на исходный: $\frac{(x-1)^2}{x-1} = x-1$.

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $(x-1)$:

$\frac{2x}{x-1} = \frac{2x \cdot (x-1)}{(x-1) \cdot (x-1)} = \frac{2x^2-2x}{(x-1)^2} = \frac{2x^2-2x}{x^2-2x+1}$

Ответ: $\frac{2x^2-2x}{x^2-2x+1}$

4) Приведем дробь $\frac{1}{7x-8y}$ к знаменателю $64y^2 - 49x^2$.

Разложим новый знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $64y^2 - 49x^2 = (8y)^2 - (7x)^2 = (8y-7x)(8y+7x)$.

Заметим, что знаменатель исходной дроби $7x-8y$ и множитель $8y-7x$ являются противоположными выражениями: $7x-8y = -(8y-7x)$.

Найдем дополнительный множитель: $\frac{(8y-7x)(8y+7x)}{7x-8y} = \frac{(8y-7x)(8y+7x)}{-(8y-7x)} = -(8y+7x)$.

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель $-(8y+7x)$:

$\frac{1}{7x-8y} = \frac{1 \cdot (-(8y+7x))}{(7x-8y) \cdot (-(8y+7x))} = \frac{-8y-7x}{(8y-7x)(8y+7x)} = \frac{-7x-8y}{64y^2-49x^2}$

Ответ: $\frac{-7x-8y}{64y^2-49x^2}$