Номер 11, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями - номер 11, страница 35.

Условие.

11. Докажите тождество:

1) $\frac{36a}{9a^2 - 25} - \frac{3a - 5}{3a^2 + 5a} - \frac{3a + 5}{3a^2 - 5a} = \frac{2}{a};$

Решение. Преобразуем левую часть данного равенства:

2) $\frac{3a + 5}{a^2 + a + 1} - \frac{7 - a^2}{1 - a^3} - \frac{2}{a - 1} = 0;$

Решение.

3) $\frac{1}{(3a + 2b)^2} - \frac{2}{9a^2 - 4b^2} + \frac{1}{(3a - 2b)^2} = \frac{16b^2}{(9a^2 - 4b^2)^2};$

Решение.

4) $\frac{a - 3}{b - 5} - \frac{6a^2 - 7a - 3}{3ab + b - 5 - 15a} = \frac{a}{5 - b};$

Решение.

Решение.

1) Докажем тождество: $ \frac{36a}{9a^2 - 25} - \frac{3a - 5}{3a^2 + 5a} - \frac{3a + 5}{3a^2 - 5a} = \frac{2}{a} $

Преобразуем левую часть тождества. Сначала разложим знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ и вынесение общего множителя за скобки:

• $9a^2 - 25 = (3a)^2 - 5^2 = (3a - 5)(3a + 5)$
• $3a^2 + 5a = a(3a + 5)$
• $3a^2 - 5a = a(3a - 5)$

Выражение принимает вид:

$$ \frac{36a}{(3a - 5)(3a + 5)} - \frac{3a - 5}{a(3a + 5)} - \frac{3a + 5}{a(3a - 5)} $$

Общий знаменатель для этих дробей — $a(3a - 5)(3a + 5)$. Приведем все дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{36a \cdot a}{a(3a - 5)(3a + 5)} - \frac{(3a - 5)(3a - 5)}{a(3a + 5)(3a - 5)} - \frac{(3a + 5)(3a + 5)}{a(3a - 5)(3a + 5)} = \frac{36a^2 - (3a - 5)^2 - (3a + 5)^2}{a(3a - 5)(3a + 5)} $$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$:

$$ \frac{36a^2 - (9a^2 - 30a + 25) - (9a^2 + 30a + 25)}{a(3a - 5)(3a + 5)} = \frac{36a^2 - 9a^2 + 30a - 25 - 9a^2 - 30a - 25}{a(3a - 5)(3a + 5)} $$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ \frac{(36a^2 - 9a^2 - 9a^2) + (30a - 30a) + (-25 - 25)}{a(3a - 5)(3a + 5)} = \frac{18a^2 - 50}{a(3a - 5)(3a + 5)} $$

Вынесем общий множитель 2 в числителе и снова применим формулу разности квадратов:

$$ \frac{2(9a^2 - 25)}{a(3a - 5)(3a + 5)} = \frac{2(3a - 5)(3a + 5)}{a(3a - 5)(3a + 5)} $$

Сократим дробь на $(3a - 5)(3a + 5)$ (при условии $a \neq \pm \frac{5}{3}$):

$$ \frac{2}{a} $$

Таким образом, левая часть тождества равна правой части: $\frac{2}{a} = \frac{2}{a}$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество: $ \frac{3a + 5}{a^2 + a + 1} - \frac{7 - a^2}{1 - a^3} - \frac{2}{a - 1} = 0 $

Преобразуем левую часть. Разложим знаменатель $1 - a^3$ на множители по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$1 - a^3 = (1 - a)(1 + a + a^2)$

Заметим, что $1 - a = -(a - 1)$. Перепишем выражение:

$$ \frac{3a + 5}{a^2 + a + 1} - \frac{7 - a^2}{-(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{2}{a - 1} = \frac{3a + 5}{a^2 + a + 1} + \frac{7 - a^2}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{2}{a - 1} $$

Общий знаменатель — $(a - 1)(a^2 + a + 1) = a^3 - 1$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{(3a + 5)(a - 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} + \frac{7 - a^2}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{2(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $$

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$$ \frac{(3a + 5)(a - 1) + 7 - a^2 - 2(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ \frac{3a^2 - 3a + 5a - 5 + 7 - a^2 - 2a^2 - 2a - 2}{a^3 - 1} = \frac{(3a^2 - a^2 - 2a^2) + (-3a + 5a - 2a) + (-5 + 7 - 2)}{a^3 - 1} $$

$$ = \frac{0 \cdot a^2 + 0 \cdot a + 0}{a^3 - 1} = \frac{0}{a^3 - 1} = 0 $$

Левая часть тождества равна 0, что совпадает с правой частью. Тождество доказано (при условии $a \neq 1$).

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество: $ \frac{1}{(3a + 2b)^2} - \frac{2}{9a^2 - 4b^2} + \frac{1}{(3a - 2b)^2} = \frac{16b^2}{(9a^2 - 4b^2)^2} $

Преобразуем левую часть. Разложим знаменатель средней дроби по формуле разности квадратов:

$9a^2 - 4b^2 = (3a - 2b)(3a + 2b)$

Выражение принимает вид:

$$ \frac{1}{(3a + 2b)^2} - \frac{2}{(3a - 2b)(3a + 2b)} + \frac{1}{(3a - 2b)^2} $$

Общий знаменатель — $(3a + 2b)^2 (3a - 2b)^2 = ((3a + 2b)(3a - 2b))^2 = (9a^2 - 4b^2)^2$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$$ \frac{(3a - 2b)^2}{(9a^2 - 4b^2)^2} - \frac{2(3a - 2b)(3a + 2b)}{(9a^2 - 4b^2)^2} + \frac{(3a + 2b)^2}{(9a^2 - 4b^2)^2} $$

Объединим числители:

$$ \frac{(3a - 2b)^2 - 2(9a^2 - 4b^2) + (3a + 2b)^2}{(9a^2 - 4b^2)^2} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ \frac{(9a^2 - 12ab + 4b^2) - (18a^2 - 8b^2) + (9a^2 + 12ab + 4b^2)}{(9a^2 - 4b^2)^2} $$

$$ = \frac{9a^2 - 12ab + 4b^2 - 18a^2 + 8b^2 + 9a^2 + 12ab + 4b^2}{(9a^2 - 4b^2)^2} $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{(9a^2 - 18a^2 + 9a^2) + (-12ab + 12ab) + (4b^2 + 8b^2 + 4b^2)}{(9a^2 - 4b^2)^2} = \frac{16b^2}{(9a^2 - 4b^2)^2} $$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано (при условии $9a^2 - 4b^2 \neq 0$).

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество: $ \frac{a - 3}{b - 5} - \frac{6a^2 - 7a - 3}{3ab + b - 5 - 15a} = \frac{a}{5 - b} $

Преобразуем левую часть. Разложим на множители знаменатель второй дроби методом группировки:

$3ab + b - 5 - 15a = (3ab - 15a) + (b - 5) = 3a(b - 5) + 1(b - 5) = (3a + 1)(b - 5)$

Теперь разложим на множители числитель второй дроби $6a^2 - 7a - 3$. Для этого решим квадратное уравнение $6a^2 - 7a - 3 = 0$. Корни уравнения: $a_1 = \frac{3}{2}$, $a_2 = -\frac{1}{3}$. Тогда разложение имеет вид:

$6a^2 - 7a - 3 = 6(a - \frac{3}{2})(a + \frac{1}{3}) = 2(a - \frac{3}{2}) \cdot 3(a + \frac{1}{3}) = (2a - 3)(3a + 1)$

Подставим разложенные выражения в левую часть тождества:

$$ \frac{a - 3}{b - 5} - \frac{(2a - 3)(3a + 1)}{(3a + 1)(b - 5)} $$

Сократим вторую дробь на множитель $(3a + 1)$ (при условии $a \neq -\frac{1}{3}$):

$$ \frac{a - 3}{b - 5} - \frac{2a - 3}{b - 5} $$

Так как знаменатели одинаковы, вычтем числители:

$$ \frac{(a - 3) - (2a - 3)}{b - 5} = \frac{a - 3 - 2a + 3}{b - 5} = \frac{-a}{b - 5} $$

Теперь преобразуем правую часть тождества: $\frac{a}{5 - b} = \frac{a}{-(b - 5)} = -\frac{a}{b - 5}$.

Получили, что левая и правая части равны: $-\frac{a}{b - 5} = -\frac{a}{b - 5}$. Тождество доказано (при условии $b \neq 5$).

Ответ: Тождество доказано.