Номер 3, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Множество и его элементы - номер 3, страница 21.

Условие.

3. Дана функция $f(x) = -\frac{10}{x}$. Впишите в пропуск знак $ \in $ или $ \notin $ так, чтобы получилось верное утверждение.

1) 5 ___ $D(f)$
2) 0 ___ $D(f)$
3) -19,287 ___ $D(f)$
4) -0,3 ___ $E(f)$
5) 0 ___ $E(f)$
6) 2860,324 ___ $D(f)$

Решение.

Дана функция $f(x) = -\frac{10}{x}$.
$D(f)$ — это область определения функции, то есть множество всех допустимых значений аргумента $x$.
$E(f)$ — это область значений функции, то есть множество всех значений, которые может принимать функция $f(x)$.

Найдем область определения $D(f)$. Функция представляет собой дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю. Следовательно, $x \neq 0$. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме нуля: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем область значений $E(f)$. Выразим $x$ через $y = f(x)$:
$y = -\frac{10}{x} \implies y \cdot x = -10 \implies x = -\frac{10}{y}$.
Из этого выражения видно, что знаменатель $y$ не может быть равен нулю. Таким образом, область значений функции — это все действительные числа, кроме нуля: $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Теперь впишем знаки $\in$ (принадлежит) или $\notin$ (не принадлежит) в пропуски.

1) Число 5 не равно 0, следовательно, оно входит в область определения функции $D(f)$.
Ответ: $5 \in D(f)$

2) Значение $x=0$ не входит в область определения функции, так как на ноль делить нельзя.
Ответ: $0 \notin D(f)$

3) Число -19,287 не равно 0, следовательно, оно входит в область определения функции $D(f)$.
Ответ: $-19,287 \in D(f)$

4) Число -0,3 не равно 0, следовательно, оно входит в область значений функции $E(f)$. Можно найти такое $x$, что $f(x) = -0,3$: $-\frac{10}{x} = -0,3 \implies x = \frac{10}{0,3} = \frac{100}{3}$.
Ответ: $-0,3 \in E(f)$

5) Значение $f(x)=0$ не может быть достигнуто, так как для этого числитель дроби $-\frac{10}{x}$ должен быть равен нулю, а он равен -10. Следовательно, 0 не входит в область значений функции $E(f)$.
Ответ: $0 \notin E(f)$

6) Число 2860,324 не равно 0, следовательно, оно входит в область определения функции $D(f)$.
Ответ: $2860,324 \in D(f)$