Номер 10, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 10, страница 15.

Условие.

10. Докажите, что при любом значении переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{x^2 - 12x + 41}$;

Решение.

Выделим из подкоренного выражения квадрат двучлена:

$\sqrt{x^2 - 12x + 41} = \sqrt{x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 36 - 36 + 41} = \sqrt{(x - 6)^2 + 5}$.

Подкоренное выражение представлено в виде суммы двух слагаемых, одно из которых принимает при любом значении $x$ ________ значение, а второе является ________ числом.

Следовательно, подкоренное выражение принимает только ________ значения. А это означает, что данное выражение имеет смысл при ________

2) $\sqrt{x^2 + 3x + 13}$.

Решение.

Решение.

1) $\sqrt{x^2 - 12x + 41}$

Решение.

Чтобы доказать, что данное выражение имеет смысл при любом значении переменной, необходимо показать, что подкоренное выражение неотрицательно при любом значении $x$, то есть $x^2 - 12x + 41 \ge 0$.

Для этого выделим из подкоренного выражения квадрат двучлена (полный квадрат):

$x^2 - 12x + 41 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 - 6^2 + 41 = (x^2 - 12x + 36) - 36 + 41 = (x - 6)^2 + 5$.

Подкоренное выражение представлено в виде суммы двух слагаемых: $(x - 6)^2$ и 5.

Первое слагаемое, $(x - 6)^2$, является квадратом действительного числа, поэтому оно принимает при любом значении $x$ неотрицательное значение, то есть $(x - 6)^2 \ge 0$.

Второе слагаемое, 5, является положительным числом.

Следовательно, подкоренное выражение, будучи суммой неотрицательного и положительного числа, принимает только положительные значения:

$(x - 6)^2 + 5 \ge 0 + 5 = 5$.

Поскольку $x^2 - 12x + 41 \ge 5$ для любого $x$, то подкоренное выражение всегда положительно. А это означает, что данное выражение имеет смысл при любых значениях переменной $x$.

Ответ: Доказано, что выражение имеет смысл при любом значении переменной.

2) $\sqrt{x^2 + 3x + 13}$

Решение.

Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть $x^2 + 3x + 13 \ge 0$.

Преобразуем подкоренное выражение, выделив в нем полный квадрат:

$x^2 + 3x + 13 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 13 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{52}{4} = (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{43}{4}$.

Полученное выражение является суммой двух слагаемых: $(x + \frac{3}{2})^2$ и $\frac{43}{4}$.

Первое слагаемое, $(x + \frac{3}{2})^2$, является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(x + \frac{3}{2})^2 \ge 0$ при любом $x$.

Второе слагаемое, $\frac{43}{4}$, является положительным числом.

Следовательно, их сумма всегда положительна:

$(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{43}{4} \ge 0 + \frac{43}{4} = \frac{43}{4}$.

Поскольку подкоренное выражение $x^2 + 3x + 13$ всегда больше нуля, то выражение $\sqrt{x^2 + 3x + 13}$ имеет смысл при любом значении переменной $x$.

Ответ: Доказано, что выражение имеет смысл при любом значении переменной.