Номер 12, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 12, страница 19.

Условие.

12. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{-x^2 - 10x - 25} - 3$;

Решение.

Имеем: $\sqrt{-x^2 - 10x - 25} - 3 = \sqrt{-(x^2 + 10x + 25)} - 3 = \sqrt{-(x+5)^2} - 3$. Выражение $\sqrt{-(x+5)^2}$ имеет смысл, если $-(x+5)^2 \ge 0$.

Ответ:

2) $y = \sqrt{8x - 16 - x^2} + 4.$

Решение.

Решение.

1) $y = \sqrt{-x^2 - 10x - 25} - 3$

Решение.

Для построения графика найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $-x^2 - 10x - 25 \ge 0$.

Преобразуем подкоренное выражение, вынеся минус за скобки и выделив полный квадрат:

$-(x^2 + 10x + 25) \ge 0$

$-(x + 5)^2 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный:

$(x + 5)^2 \le 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x + 5)^2 \ge 0$, единственное решение данного неравенства возможно только в случае равенства нулю: $(x + 5)^2 = 0$.

Отсюда следует, что $x + 5 = 0$, то есть $x = -5$.

Таким образом, функция определена только в одной точке $x = -5$. Найдем значение функции в этой точке:

$y(-5) = \sqrt{-(-5+5)^2} - 3 = \sqrt{0} - 3 = -3$

Следовательно, график функции состоит из одной точки с координатами $(-5, -3)$.

Ответ: График функции — точка $(-5, -3)$.

2) $y = \sqrt{8x - 16x - x^2} + 4$

Решение.

Сначала упростим выражение под корнем, выполнив вычитание: $8x - 16x = -8x$. Функция принимает вид:

$y = \sqrt{-x^2 - 8x} + 4$

Найдем область определения функции из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-x^2 - 8x \ge 0$.

Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный: $x^2 + 8x \le 0$, или $x(x + 8) \le 0$.

Решением этого неравенства, найденным методом интервалов, является отрезок $x \in [-8, 0]$.

Для определения вида графика преобразуем уравнение функции. Перенесем 4 в левую часть: $y - 4 = \sqrt{-x^2 - 8x}$. Из определения арифметического квадратного корня следует, что левая часть должна быть неотрицательной: $y - 4 \ge 0$, то есть $y \ge 4$.

Возведем обе части уравнения $y - 4 = \sqrt{-x^2 - 8x}$ в квадрат:

$(y - 4)^2 = -x^2 - 8x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть и дополним до полного квадрата:

$x^2 + 8x + (y - 4)^2 = 0$

$(x^2 + 8x + 16) - 16 + (y - 4)^2 = 0$

$(x + 4)^2 + (y - 4)^2 = 16$

Полученное уравнение $(x + 4)^2 + (y - 4)^2 = 4^2$ является уравнением окружности с центром в точке $(-4, 4)$ и радиусом $R=4$.

С учетом ранее полученного условия $y \ge 4$, графиком исходной функции является верхняя полуокружность этой окружности.

Ответ: График функции — верхняя полуокружность с центром в точке $(-4, 4)$ и радиусом $4$, с концами в точках $(-8, 4)$ и $(0, 4)$.