Номер 11, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 11, страница 16.

Условие.

11. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 - 9} = 0$;

Решение.

Левая часть данного уравнения является суммой двух слагаемых, каждое из которых может принимать только значения. Тогда их сумма равна нулю, если

Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

Ответ:

2) $\sqrt{-x-1} + \sqrt{x+1} = 0$;

Решение.

Ответ:

3) $\sqrt{x-6} + \sqrt{4-x} = 3$;

Решение.

Левая часть данного уравнения имеет смысл, если выражения и одновременно принимают

Ответ:

4) $(x-2)\sqrt{x-4} = 0$;

Решение.

Используя условие равенства произведения нулю, получаем:

Ответ:

5) $(x+5)\sqrt{3-x} = 0$.

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 - 9} = 0$

Решение.

Левая часть данного уравнения является суммой двух слагаемых, $\sqrt{x^2 + 3x}$ и $\sqrt{x^2 - 9}$, каждое из которых может принимать только неотрицательные значения ($\ge 0$). Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны нулю.

Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 3x = 0 \\ x^2 - 9 = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x(x+3)=0$, откуда $x_1=0$ или $x_2=-3$.

Решим второе уравнение: $(x-3)(x+3)=0$, откуда $x_3=3$ или $x_4=-3$.

Общим решением для обоих уравнений является $x=-3$.

Ответ: -3

2) $\sqrt{-x-1} + \sqrt{x+1} = 0$

Решение.

Как и в предыдущем задании, сумма двух квадратных корней равна нулю только в том случае, если оба подкоренных выражения одновременно равны нулю.

$\begin{cases} -x - 1 = 0 \\ x + 1 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем: $-x = 1$, что дает $x=-1$.

Второе уравнение $x+1=0$ также дает решение $x=-1$.

Поскольку оба уравнения имеют общий корень $x=-1$, это и есть решение исходного уравнения.

Можно также рассмотреть область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} -x - 1 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le -1 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим неравенствам, — это $x=-1$.

Ответ: -1

3) $\sqrt{x-6} + \sqrt{4-x} = 3$

Решение.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Левая часть данного уравнения имеет смысл, если подкоренные выражения неотрицательны:

$\begin{cases} x - 6 \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases}$

Решая систему неравенств, получаем:

$\begin{cases} x \ge 6 \\ x \le 4 \end{cases}$

Не существует действительного числа $x$, которое было бы одновременно больше или равно 6 и меньше или равно 4. Таким образом, область допустимых значений является пустым множеством. Это означает, что уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней

4) $(x - 2)\sqrt{x - 4} = 0$

Решение.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (определен). Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) из условия существования корня:

$x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4$.

Теперь рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

1) Первый множитель равен нулю: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.

Проверим, входит ли этот корень в ОДЗ. Так как $2 < 4$, корень $x=2$ не удовлетворяет условию $x \ge 4$ и является посторонним.

2) Второй множитель равен нулю: $\sqrt{x - 4} = 0 \implies x - 4 = 0 \implies x = 4$.

Проверим этот корень. Значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 4$).

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: 4

5) $(x + 5)\sqrt{3 - x} = 0$

Решение.

Используя условие равенства произведения нулю, получаем совокупность уравнений при условии, что все выражения определены. Найдем ОДЗ:

$3 - x \ge 0 \implies x \le 3$.

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x + 5 = 0 \implies x = -5$.

Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $-5 \le 3$.

2) $\sqrt{3 - x} = 0 \implies 3 - x = 0 \implies x = 3$.

Этот корень также удовлетворяет ОДЗ, так как $3 \le 3$.

Оба найденных значения являются корнями уравнения.

Ответ: -5; 3