Номер 9, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 9, страница 15.

Условие.

9. Решите уравнение:

1) $\sqrt{6+\sqrt{421-\sqrt{x}}} = 5;$

Решение.

$6+\sqrt{421-\sqrt{x}} = 5^2;$

$6+\sqrt{421-\sqrt{x}} = 25;$

$\sqrt{421-\sqrt{x}} = 25-6;$

Ответ:

2) $\sqrt{7-\sqrt{6+\sqrt{x}}} = 2.$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $\sqrt{6 + \sqrt{421 - \sqrt{x}}} = 5$

Для решения уравнения необходимо последовательно избавляться от знаков корня, возводя обе части уравнения в квадрат. При этом необходимо учитывать, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а результат извлечения арифметического квадратного корня также неотрицателен.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{6 + \sqrt{421 - \sqrt{x}}})^2 = 5^2$

$6 + \sqrt{421 - \sqrt{x}} = 25$

Изолируем оставшийся радикал:

$\sqrt{421 - \sqrt{x}} = 25 - 6$

$\sqrt{421 - \sqrt{x}} = 19$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{421 - \sqrt{x}})^2 = 19^2$

$421 - \sqrt{x} = 361$

Теперь выразим $\sqrt{x}$:

$-\sqrt{x} = 361 - 421$

$-\sqrt{x} = -60$

$\sqrt{x} = 60$

Чтобы найти $x$, возведем обе части в квадрат в последний раз:

$(\sqrt{x})^2 = 60^2$

$x = 3600$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$\sqrt{6 + \sqrt{421 - \sqrt{3600}}} = \sqrt{6 + \sqrt{421 - 60}} = \sqrt{6 + \sqrt{361}} = \sqrt{6 + 19} = \sqrt{25} = 5$

$5 = 5$

Равенство верно, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: 3600

2) $\sqrt{7 - \sqrt{6 + \sqrt{x}}} = 2$

Аналогично первому пункту, будем последовательно возводить обе части уравнения в квадрат.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{7 - \sqrt{6 + \sqrt{x}}})^2 = 2^2$

$7 - \sqrt{6 + \sqrt{x}} = 4$

Изолируем оставшийся радикал:

$-\sqrt{6 + \sqrt{x}} = 4 - 7$

$-\sqrt{6 + \sqrt{x}} = -3$

$\sqrt{6 + \sqrt{x}} = 3$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{6 + \sqrt{x}})^2 = 3^2$

$6 + \sqrt{x} = 9$

Теперь выразим $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = 9 - 6$

$\sqrt{x} = 3$

Чтобы найти $x$, возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 3^2$

$x = 9$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$\sqrt{7 - \sqrt{6 + \sqrt{9}}} = \sqrt{7 - \sqrt{6 + 3}} = \sqrt{7 - \sqrt{9}} = \sqrt{7 - 3} = \sqrt{4} = 2$

$2 = 2$

Равенство верно, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: 9