Номер 3, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 3, страница 10.

Условие.

3. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{0,81} - \sqrt{20,25} =$

2) $\frac{2}{3}\sqrt{0,36} + \sqrt{\frac{25}{16}} =$

3) $\sqrt{5^2 - 3 \cdot 2^3} = \sqrt{25 - 3 \cdot 8} =$

4) $\sqrt{\sqrt{25} + \sqrt{16}} = \sqrt{5 + \_\_\_\_\_\_} =$

5) $\frac{36}{49}\sqrt{1\frac{13}{36}} - \left(-\sqrt{\frac{1}{7}}\right)^2 = \frac{36}{49}\sqrt{\frac{49}{36}} - \frac{1}{7} =$

6) $\left(\frac{1}{3}\sqrt{45}\right)^2 - 0,5\sqrt{5\frac{19}{25}} =$

Решение.

1) Для решения этого выражения необходимо извлечь квадратные корни из каждого числа, а затем выполнить вычитание.
$ \sqrt{0,81} = 0,9 $, так как $ 0,9^2 = 0,81 $.
$ \sqrt{20,25} = 4,5 $, так как $ 4,5^2 = 20,25 $.
Теперь выполним вычитание: $ 0,9 - 4,5 = -3,6 $.
Полное решение: $ \sqrt{0,81} - \sqrt{20,25} = 0,9 - 4,5 = -3,6 $.
Ответ: -3,6

2) Сначала вычислим значения корней, а затем выполним операции умножения и сложения.
$ \sqrt{0,36} = 0,6 $.
$ \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4} $.
Теперь подставим значения в выражение: $ \frac{2}{3} \cdot 0,6 + \frac{5}{4} $.
$ \frac{2}{3} \cdot 0,6 = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{10} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0,4 $.
$ \frac{5}{4} = 1,25 $.
Сложим полученные значения: $ 0,4 + 1,25 = 1,65 $.
Полное решение: $ \frac{2}{3}\sqrt{0,36} + \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{2}{3} \cdot 0,6 + \frac{5}{4} = 0,4 + 1,25 = 1,65 $.
Ответ: 1,65

3) Сначала выполним действия под корнем, соблюдая порядок операций (возведение в степень, умножение, вычитание).
$ 5^2 = 25 $.
$ 2^3 = 8 $.
$ 3 \cdot 8 = 24 $.
$ 25 - 24 = 1 $.
Теперь извлечем корень: $ \sqrt{1} = 1 $.
Полное решение: $ \sqrt{5^2 - 3 \cdot 2^3} = \sqrt{25 - 3 \cdot 8} = \sqrt{25 - 24} = \sqrt{1} = 1 $.
Ответ: 1

4) В этом выражении сначала нужно вычислить значения внутренних корней, затем сложить их и извлечь корень из суммы.
$ \sqrt{25} = 5 $.
$ \sqrt{16} = 4 $.
Сложим их: $ 5 + 4 = 9 $.
Извлечем корень из результата: $ \sqrt{9} = 3 $.
Полное решение: $ \sqrt{\sqrt{25} + \sqrt{16}} = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3 $.
Ответ: 3

5) Решим по частям. Сначала преобразуем смешанную дробь и возведем в квадрат второе слагаемое.
$ \sqrt{1\frac{13}{36}} = \sqrt{\frac{36 \cdot 1 + 13}{36}} = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6} $.
$ \left(-\sqrt{\frac{1}{7}}\right)^2 = \frac{1}{7} $.
Теперь подставим значения в исходное выражение: $ \frac{36}{49} \cdot \frac{7}{6} - \frac{1}{7} $.
Выполним умножение, сократив дроби: $ \frac{36}{49} \cdot \frac{7}{6} = \frac{6 \cdot \cancel{6}}{\cancel{7} \cdot 7} \cdot \frac{\cancel{7}}{\cancel{6}} = \frac{6}{7} $.
Теперь вычитание: $ \frac{6}{7} - \frac{1}{7} = \frac{5}{7} $.
Полное решение: $ \frac{36}{49}\sqrt{1\frac{13}{36}} - \left(-\sqrt{\frac{1}{7}}\right)^2 = \frac{36}{49}\sqrt{\frac{49}{36}} - \frac{1}{7} = \frac{36}{49} \cdot \frac{7}{6} - \frac{1}{7} = \frac{6}{7} - \frac{1}{7} = \frac{5}{7} $.
Ответ: $ \frac{5}{7} $

6) Решим выражение по частям.
Первая часть: $ \left(\frac{1}{3}\sqrt{45}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot (\sqrt{45})^2 = \frac{1}{9} \cdot 45 = \frac{45}{9} = 5 $.
Вторая часть: $ 0,5\sqrt{5\frac{19}{25}} $. Преобразуем смешанную дробь: $ 5\frac{19}{25} = \frac{5 \cdot 25 + 19}{25} = \frac{125+19}{25} = \frac{144}{25} $.
Извлечем корень: $ \sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{12}{5} = 2,4 $.
Теперь умножим: $ 0,5 \cdot 2,4 = 1,2 $.
Выполним вычитание: $ 5 - 1,2 = 3,8 $.
Полное решение: $ \left(\frac{1}{3}\sqrt{45}\right)^2 - 0,5\sqrt{5\frac{19}{25}} = 5 - 0,5\sqrt{\frac{144}{25}} = 5 - 0,5 \cdot \frac{12}{5} = 5 - 1,2 = 3,8 $.
Ответ: 3,8