Номер 10, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 11. Функция y = x² и её график - номер 10, страница 8.

Условие.

10. Постройте график функции $y = \frac{x^4 - x^2}{x^2 - 1}$ и определите, при каких значениях k прямая $y = kx$ имеет с графиком одну общую точку.

Решение.

Имеем: $\frac{x^4 - x^2}{x^2 - 1} = \frac{x^2(x^2 - 1)}{x^2 - 1} =$

Ответ:

Решение.

Решение.

1. Построим график функции $y = \frac{x^4 - x^2}{x^2 - 1}$.

Сначала преобразуем выражение, задающее функцию. Разложим числитель на множители:

$y = \frac{x^2(x^2 - 1)}{x^2 - 1}$

Область определения функции (ОДЗ) задается условием, что знаменатель дроби не равен нулю:

$x^2 - 1 \neq 0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.

При всех $x$ из области определения ($x \neq \pm 1$) функцию можно сократить:

$y = x^2$

Таким образом, график исходной функции представляет собой параболу $y = x^2$, из которой удалены (выколоты) две точки, соответствующие абсциссам $x = 1$ и $x = -1$.

Найдем координаты этих выколотых точек:

• При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Координаты первой выколотой точки: $(1; 1)$.
• При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Координаты второй выколотой точки: $(-1; 1)$.

Итак, график функции — это парабола $y = x^2$ с выколотыми точками $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

2. Определим, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Прямая $y = kx$ — это семейство прямых, проходящих через начало координат $(0; 0)$. Параметр $k$ является угловым коэффициентом прямой.

Общие точки графика функции и прямой $y=kx$ находятся из решения системы уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 \\ y = kx \end{cases}$ при условиях $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Приравняем правые части: $x^2 = kx \implies x^2 - kx = 0 \implies x(x - k) = 0$.

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = k$.

Точка с абсциссой $x_1 = 0$ (т.е. точка $(0; 0)$) всегда является общей точкой, так как $x = 0$ входит в область определения функции.

Чтобы прямая имела с графиком ровно одну общую точку, необходимо, чтобы вторая точка пересечения либо совпадала с первой, либо ее абсцисса была исключена из области определения.

Рассмотрим возможные случаи:

Случай 1: Корни совпадают.

Это происходит, если $k = 0$. В этом случае прямая $y = 0x$, то есть $y = 0$ (ось абсцисс), касается параболы в одной точке $(0; 0)$. Следовательно, при $k = 0$ есть ровно одна общая точка.

Случай 2: Второй корень $x_2 = k$ совпадает с абсциссой одной из выколотых точек.

Это означает, что прямая $y = kx$ проходит через одну из выколотых точек, и эта точка не является точкой пересечения с графиком. В этом случае единственной общей точкой останется $(0; 0)$.

• Если прямая проходит через выколотую точку $(1; 1)$: подставляем ее координаты в уравнение прямой $y = kx$, получаем $1 = k \cdot 1$, откуда $k = 1$. При $k=1$ второй корень $x_2 = 1$, что соответствует выколотой точке. Таким образом, при $k=1$ есть только одна общая точка $(0; 0)$.
• Если прямая проходит через выколотую точку $(-1; 1)$: подставляем ее координаты в уравнение прямой $y = kx$, получаем $1 = k \cdot (-1)$, откуда $k = -1$. При $k=-1$ второй корень $x_2 = -1$, что соответствует выколотой точке. Таким образом, при $k=-1$ есть только одна общая точка $(0; 0)$.

Во всех остальных случаях ($k \neq 0, k \neq 1, k \neq -1$) прямая будет иметь с параболой две общие точки: $(0; 0)$ и $(k; k^2)$, ни одна из которых не является выколотой.

Итак, прямая $y=kx$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку при $k = -1$, $k = 0$ и $k = 1$.

Ответ: $-1; 0; 1$.