Номер 9, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 11. Функция y = x² и её график - номер 9, страница 7.

Условие.

9. Дана функция $f(x) = \begin{cases} \frac{8}{x}, & \text{если } x \le -2, \\ x^2, & \text{если } -2 < x < 2, \\ \frac{8}{x}, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

1) Постройте график данной функции.

2) Определите, при каких значениях $c$ прямая $y = c$ имеет с графиком одну общую точку.

3) Существует ли такое значение $c$, что прямая $y = c$ имеет с графиком две общие точки?

4) Какое наибольшее количество общих точек может иметь с графиком прямая $y = c$ и при каких значениях $c$?

Решение.

Ответ:

Решение.

1) Постройте график данной функции.

Функция $f(x)$ является кусочно-заданной. Для построения её графика рассмотрим каждый из трёх участков, на которых она определена.
1. На промежутке $x \le -2$ функция задана формулой $f(x) = \frac{8}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. Найдём значение функции на границе промежутка: $f(-2) = \frac{8}{-2} = -4$. Таким образом, этот участок графика заканчивается в точке $(-2, -4)$, которая принадлежит графику. При $x \to -\infty$, $f(x) \to 0$.
2. На промежутке $-2 < x < 2$ функция задана формулой $f(x) = x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Поскольку неравенства строгие, значения функции на концах интервала не включаются в график. Найдём предельные значения: при $x \to -2^+$, $f(x) \to (-2)^2 = 4$; при $x \to 2^-$, $f(x) \to 2^2 = 4$. Точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$ являются "выколотыми".
3. На промежутке $x \ge 2$ функция задана формулой $f(x) = \frac{8}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Найдём значение функции на границе промежутка: $f(2) = \frac{8}{2} = 4$. Таким образом, этот участок графика начинается в точке $(2, 4)$, которая принадлежит графику. При $x \to +\infty$, $f(x) \to 0$.
Объединяя все три части, получаем график функции $f(x)$.

Ответ: График функции построен на основе анализа её частей: ветви гиперболы $y=8/x$ на луче $(-\infty, -2]$, участка параболы $y=x^2$ на интервале $(-2, 2)$, и ветви гиперболы $y=8/x$ на луче $[2, +\infty)$.

2) Определите, при каких значениях c прямая y = c имеет с графиком одну общую точку.

Прямая $y=c$ является горизонтальной линией. Количество общих точек этой прямой с графиком функции $f(x)$ соответствует количеству решений уравнения $f(x)=c$. Проанализируем это количество, исходя из вида графика.
Одна общая точка будет в следующих случаях:
- Когда прямая проходит через точку $(-2, -4)$, то есть при $c = -4$.
- Когда прямая пересекает ветвь гиперболы на промежутке $(-\infty, -2)$, но не пересекает другие части графика. Это происходит при $-4 < c < 0$.
- Когда прямая проходит через вершину параболы $(0, 0)$, то есть при $c = 0$.
- Когда прямая проходит через точку $(2, 4)$. При $c=4$ прямая $y=4$ пересекает график в точке $(2, 4)$. С параболой $y=x^2$ пересечений нет, так как точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$ для неё выколоты.
Объединяя эти случаи, получаем, что одна общая точка имеется при $c \in [-4, 0] \cup \{4\}$.

Ответ: $c \in [-4, 0] \cup \{4\}$.

3) Существует ли такое значение c, что прямая y = c имеет с графиком две общие точки?

Рассмотрим все возможные случаи для количества пересечений прямой $y=c$ с графиком функции:
- 0 точек: при $c < -4$ и $c > 4$.
- 1 точка: при $c \in [-4, 0] \cup \{4\}$ (как показано в пункте 2).
- 3 точки: при $0 < c < 4$. В этом случае прямая $y=c$ пересекает параболу $y=x^2$ в двух точках (так как $x = \pm\sqrt{c}$, и оба значения лежат в интервале $(-2, 2)$) и правую ветвь гиперболы $y=8/x$ в одной точке (так как $x=8/c$, и это значение лежит в промежутке $[2, +\infty)$).
Таким образом, прямая $y=c$ может иметь с графиком 0, 1 или 3 общие точки. Случай, когда точек пересечения ровно две, невозможен.

Ответ: нет, такого значения $c$ не существует.

4) Какое наибольшее количество общих точек может иметь с графиком прямая y = c и при каких значениях c?

Из анализа, проведённого в предыдущем пункте, следует, что наибольшее возможное количество общих точек прямой $y=c$ с графиком функции $f(x)$ равно трём.
Это достигается в том случае, когда значение $c$ находится в интервале $(0, 4)$.

Ответ: Наибольшее количество общих точек равно 3, это достигается при $c \in (0, 4)$.