Номер 11, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 11. Функция y = x² и её график - номер 11, страница 8.

Условие.

11. Постройте график уравнения $ \frac{y - x^2}{(x + 3)^2 + |y - 9|} = 0. $

Решение.

Данное уравнение равносильно системе

$\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ (x + 3)^2 + |y - 9| \neq 0. \end{cases}$

Ответ:

Решение.

Решение.

Данное уравнение представляет собой дробь, равную нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе:

$$ \begin{cases} y - x^2 = 0, \\ (x + 3)^2 + |y - 9| \neq 0. \end{cases} $$

Из первого уравнения системы получаем $y = x^2$. Графиком этого уравнения является парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Рассмотрим второе условие системы: $(x + 3)^2 + |y - 9| \neq 0$.
Выражение в левой части представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: $(x + 3)^2 \geq 0$ и $|y - 9| \geq 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны нулю. То есть, равенство $(x + 3)^2 + |y - 9| = 0$ выполняется при одновременном выполнении условий:

$$ \begin{cases} (x + 3)^2 = 0, \\ |y - 9| = 0. \end{cases} $$

Решая эту систему, получаем:

$$ \begin{cases} x + 3 = 0, \\ y - 9 = 0; \end{cases} \implies \begin{cases} x = -3, \\ y = 9. \end{cases} $$

Таким образом, знаменатель обращается в ноль в точке $(-3, 9)$. Условие $(x + 3)^2 + |y - 9| \neq 0$ означает, что точка с координатами $(-3, 9)$ должна быть исключена из графика.

Теперь проверим, принадлежит ли точка $(-3, 9)$ графику $y = x^2$. Для этого подставим значение $x = -3$ в уравнение параболы:

$y = (-3)^2 = 9$.

Так как при $x = -3$ получается $y = 9$, точка $(-3, 9)$ лежит на параболе $y = x^2$.

Следовательно, искомый график — это парабола $y = x^2$ с одной "выколотой" (удалённой) точкой, имеющей координаты $(-3, 9)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(-3, 9)$.