Номер 8, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Множество и его элементы - номер 8, страница 21.

Условие.

8. Пусть D – множество корней уравнения $\frac{x-7}{x^2-49} = 0$. Тогда $D =$ ________

Решение.

Чтобы найти множество корней $D$ уравнения $\frac{x-7}{x^2-49} = 0$, необходимо решить данное дробно-рациональное уравнение.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это можно записать в виде системы:
$ \begin{cases} x - 7 = 0 \\ x^2 - 49 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим первое уравнение системы:
$x - 7 = 0$
$x = 7$
Это единственный потенциальный корень уравнения.

2. Теперь проверим, удовлетворяет ли найденный корень второму условию, то есть входит ли он в область допустимых значений (ОДЗ). Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$x^2 - 49 = 0$
Используя формулу разности квадратов, получаем:
$(x - 7)(x + 7) = 0$
Это равенство выполняется, если $x - 7 = 0$ или $x + 7 = 0$.
Отсюда $x = 7$ или $x = -7$.
Таким образом, область допустимых значений для исходного уравнения — это все действительные числа, кроме $7$ и $-7$.

3. Сравним потенциальный корень $x = 7$ с областью допустимых значений. Видно, что значение $x = 7$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель дроби обращается в ноль.

Поскольку единственный кандидат в корни не удовлетворяет ОДЗ, данное уравнение не имеет решений. Следовательно, множество корней $D$ является пустым множеством.
Ответ: $D = \emptyset$